欠けた質量の問題
(p5)
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解の解釈
図2から、ポテンシャルYが無限に近づくと定数に近づくことがわかる。エディントンの古典的な解では、ポテンシャルは対数的に増加する。図3は、領域sに存在する物質クラスターと、領域s*に存在する滑らかな空洞の結合を示している。
どちらの領域でも物質は物質を引きつける。しかし、場の式とポアソンの式から得られる負の符号により、物質と「反対極の物質」は互いに反発する。これによりクラスターの閉じ込めが促進される。与えられた熱速度に対して、圧力の力と釣り合うために必要な物質量は減少する。滑らかなハローはコルセットのように働く。
場の式は宇宙のマクロな記述を提供する。これは物質の粒子的な性質を考慮していない。モデルでは、粒子と反対極の粒子が空間の非常に遠く離れた反対極的な領域に共存していると仮定されている。実際には、それらの性質は同一である。場の式の物理的意味は次の通りである：粒子と反対極の粒子は重力効果によって相互作用するが、電磁気的効果によっては相互作用しない。我々は、反対極の粒子、クラスター、リング、その他の反対極構造が望遠鏡や電波望遠鏡では観測できないと仮定している。反対極構造の観測にはおそらく何らかの「重力望遠鏡」が必要であろう。
式(22)によると、クラスターは反対極領域に存在しうる。したがって、広範な希薄領域を囲む大きなハローも観測可能な宇宙に存在するはずである。実際、それらは存在する。これは、我々の表現において観測された宇宙の大規模構造に対応する：銀河は大きな希薄なバブルの周りに配置されているように見える。我々のモデルによれば、対応する反対極領域に大きな反対極物質の雲が存在すべきである。
宇宙はS3×R1のトポロジーを持つと仮定されている。読者にはおそらくこの不思議な3次元幾何学を理解するのが難しいかもしれない。実際、S3の球は単純に射影空間P3の二重被覆として表される。このような配置では、球面上の各点sはその反対極A(s)と関連付けられる。これは、球面S2が射影空間P2を被覆する場合と類似している。これは我々の空間R3において有名なボイの面として表される。
図9：S2球面上の反対極の点対と、射影空間P2の画像であるボイの面
図10では、球の赤道と、ボイの面におけるその位置を示している。
図10：2次元球の赤道の周辺と、ボイの面におけるその位置
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図11は、S2球の赤道が3つの半回転を持つモビウス帯に沿って自身に接合される方法を示している。局所的には、この表面はファイバー束の多様体と見なすことができ、そのファイバーは+1と-1の2つの値を持つ。
図11：モビウス帯の被覆に対応するエナンチオモルフィックな画像。
3次元球S3では、測地線に従うと反対極の点は中間点に位置する。もし3次元球が4次元空間に沈められていれば、任意の点とその反対極を一致させることができる。これらの点対は反対極の微分的反対写像Aによって関連付けられるが、同一視されない。
図12に示すように、「グリュイエール」構造からクラスター構造へと連続的に移行できる。この特徴的な性質は以前に2次元の数値シミュレーションによって示されていた。図12に示されたように、空間の領域が反対極領域の「前」に配置されると、クラスターは「穴」に挿入される。
図12：宇宙の大規模構造の2次元画像
図13：2つの反対極領域間の相互作用
この効果は銀河構造レベルで作用する可能性があり、図14に示されているように、各銀河が対応する反対極領域の「穴」に挿入される。
オリジナル版（英語）
The missing mass problem
(p5)
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The interpretation of the solution
From the figure 2 we see that the potential
Ytends to a constant at the infinite. In the classical Eddington solution the potential owns a logarithmic growth. The figure 3 shows the association of a cluster of matter, located in the region
s
, sourrounded by a smooth hollow located in the region
s *.
In both regions matter attracts matter. But the negative sign, from the field equation and the Poisson equation, makes the matter and the "antipodal matter" to repel each other. This helps the confinement of the cluster. For a given thermal velocity the necessary quantity of matter to balance the pressure force is smaller. The smooth halo acts like a corset.
A field equation provides a macroscopic description of the universe. It does not take account of the corpuscular nature of matter. The model implies that particles and antipodal-particles live in very distant, antipodal portions of space. In fact their natures are identical. The physical meaning of the field equation is the following : the particules and antipodal-particles interact by gravitational effect, but not by electromagnetic effect. We assume that the antipodal particles, clusters, rings, are not observable with a telescope, or a radiotelescope. The observation of antipodal structures should require some sort of gravitational telescope.
From equation (22) clusters can be located in the antipodal region. Then, associated large halos, sourrounding wide rarefied regions, should exist in the observable universe too. In fact they do, for it corresponds, in our mind, to the observed large scale structure of the universe : the galaxies seem to be arranged around large rarefied bubbles. According to our model, large clouds of antipodal matter should exist in the corresponding associated antipodal regions.
The universe was assumed to have a S3
x
R1 topology. The reader has probabily some difficulties to understand this strange three-dimensional geometry. In fact the sphere S3 is simply shaped as the double cover of a projective space P3. In such arrangement each point
s
of the sphere is associated to its antipode A( s ). The situation is similar for a sphere S2 covering a projective space P2, which can be represented in our space R3 as the well known Boy surface.
Figure 9 : A couple of antipodal points on a sphere S2 and the Boy surface, image of the projective space P2
On the figure 10 we have figured the equator of a sphere and its location on the Boy Surface.
Figure 10 : The vicinity of the equator of a 2-sphere and its location on a Boy surface
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The figure 11 shows how the equator of a S2 sphere can be glued on itself along a three half-turns Möbius belt. Locally the surface can be assimilated to a bundled manifold whose bundle owns two values + 1 and -1.
Figure 11 : Enantiomorphic image corresponding to the cover of a Möbius belt.
In a 3-sphere S3, if one follows a geodesic, the antipodal point is at the half-way. If the 3-sphere is immersed in a four-dimensional space it is possible to make any point and its antipode to coincidate. These couples of points are associated through the antipodal diffential involutive maping A, but not identified.
As shown on the figure 12 we can proceed continously from a "gruyère" structure to a cluster structure. This peculiar feature was illustrated before, through 2d numerical simulations. When a region of space is put "in front" of the antipodal region, as suggested in the figure 12, the clusters nest in the holes.
Figure 12 : Two-dimensional image of the global large structure of the universe
Figure 13 : The interaction between two antipodal regions
This effect could act at the level of the galactic structure, as suggested in the figure 14, each galaxy nesting in a "hole" of the conjugated antipodal region.