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並進群：
…2次元空間（x, y）を考える。この空間において、並進はスカラーの組（Δx, Δy）に対応し、通常次のように表す：
x' = x + Δx
y' = y + Δy
このとき、加法を用いる。では、並進を…乗法で表現することは可能だろうか？
行列を検討する：
そして群作用を定義する：
ここで、単なる行列乗法 g × r ではなく、群作用：
を用いていることに注意する。
同時に、3次元、4次元、さらにはそれ以上の次元における並進も検討できる：
対応する群作用は次のようになる：
…補足として、並進群は可換であり、単位元は「ゼロ並進」である。3次元では群の次元は3、4次元では4である。
行列群の利点。例：オイラー群。
…行列群の利点は、これまで異なる本質に思われていた複数の操作（たとえば回転と並進）を同時に扱える点にある。そのために、次のような行列を考える：
そして、群の要素となる行列を列ベクトルに作用させると、これは角度αの回転とベクトル（Δx, Δy）方向の並進の組み合わせに等しいことがわかる。
…ご覧の通り、行列gは2次元空間の点(x, y)に「直接」作用するのではなく、ある「群作用」と呼ばれる仕組みを通じて作用している。これは特定の公理に従う。
…したがって、群は「作用」し、「移動」する。ここでは点が移動される。これはオイラー群である。2次元空間（x, y）に関連するこの群は3つのパラメータで定義され、その次元は3である。特に：
g(α, Δx, Δy)：群の次元は3。
特に：
g(0, Δx, Δy)：並進の部分群を表す。
g(α, 0, 0)：原点周りの回転の部分群を表す。
g(0, Δx, 0)：x軸に平行な並進の部分群を表す。
…オイラー群は、それ自体に属性を持たない点を移動させる。一方、力学の群は単なる「質点」に質量、エネルギー、運動量、スピンといった「属性」を与える。
…オイラー群では、点の集合を扱う必要がある。まるで化学で、原子同士が区別できないように、分子の集合の幾何学的配置だけが情報を持つように。
…幾何学的図形、たとえば三角形（3点、または3線分の集合として考える）、四角形（4点、または4線分の集合として考える）は、この群によって移動できる。ここで重要な概念が登場する：種（species）。2つの「物体」が、群の要素によって一方を他方と重ね合わせられるならば、それらは同じ種に属するという。
オイラー群に関して、同じ辺長aの正方形は同じ種を形成する：
同じ種の正方形。
…辺長aとbが異なる場合、これらの物体は同じ種ではない。群の要素によって一方から他方への移行は不可能である。
オイラー群に関して、これらの正方形は同じ種ではない。
オイラー群では相似変換（ホモテティ）は許されない。これを扱うためには、デカルトの群に移行する必要がある：
4パラメータの群：
g(λ, α, Δx, Δy)
ここでλは相似変換の係数である。したがって、この群の次元は4である。
ここから、3次元空間におけるオイラー群が作用する物体についても想像できる。
…群論の完全な講義に飛び込む必要はないが、いくつかのアイデアを理解することが目的である。動物の分類学とは何か？動物を研究し、分類する科学である。形に限定すれば、オイラー群は成獣のウサギを分類できる。しかし、異なるサイズのウサギを同じ種に分類するには、オイラー群（3次元）では不可能である。そのためには、デカルトの群が必要となる。
…笑っているだろうか？間違っている。おそらく、自宅やアパートで、何か小さな子供が学習中で、隅で遊んでいるのではないだろうか。彼は古典的なおもちゃを与えられ、形の入る箱に円柱、立方体、三角柱を押し込もうとしている。
…彼は何をしているのか？3次元のオイラー群に慣れようとしている。彼は物体を「種」で分類し、将来の「形状認識」の基礎を築いているのである。
…色が異なっていても、赤ちゃんは、円柱Aと円柱Bが、3次元空間における群作用（物体の移動）によって、箱の「空洞の形」を用いて一致させられることを確認している。つまり、分類箱の入口に通るための「形のスクリーン」を使うのである。こうして、円柱AとBが、形（オイラー群）という基準では同じ種に属することを学ぶ。
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