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(n,n) のランクを持つ正方行列は、(n,0) の列ベクトルに作用する。以前に見たように、2次元のユークリッド群は、空間 (x,y) を参照しているが、列ベクトルに対する作用を含んでいない：
(51)
代わりに、列ベクトルに対して作用する：
(52)
これは、群が空間 X に作用する一例であり、x ∈ X である。可能な作用は無限に存在する。たとえば、群自身への作用も含まれる。作用は公理によって定義される。
(53)
列ベクトルを
(54)
とし、たとえば
x
が以下のベクトルを表すとすると：
(55)
(56)
このベクトルは群作用の公理を満たす。そこで、群の要素を表す正方行列を左から行列行 y に掛けることで、これも作用かどうかを検討できる。
(57)
A g (y) = y x g
答えは「いいえ」である。これは群作用ではない。上記の公理を満たさない。このような作用を私は「反作用」と呼ぶ。これは次の「反公理」に従う：
(58)
数学者は、「反作用を導入する必要はない。一つの公理系だけで十分である」と言うだろう。確かにそうである。同様に、次のように考えられる「反作用」：
(59)
AA g (m) = g⁻¹ x m x g
ここで m は与えられたベクトルであり、「群 G の要素 g による行列 m への反作用」として、g⁻¹ は行列の逆行列である。これは、要素 g⁻¹ による作用として扱うことができる。
同様に、反作用とは作用の双対である。私は、教育的な理由からこの概念を導入することを便利だと感じた。
n 個のパラメータ pi に依存する正方行列の群から出発すると、すべてのパラメータを微分して dp i を得る。このように得られた行列は、要素 dp i を持つが、群を形成しない。代わりに、「群の接ベクトル」と呼ばれるものになる：
d g
（その「リー代数」であり、実は真の代数ではないが、ここでは省略する）。
したがって、群は群の単位元 e の近傍における「接ベクトル」d g に、「反作用」を通じて作用する：
(60)
AA g (m) = g⁻¹ x d g (g = e) x g
これにより次の図式が得られる：
(61)
しかし、反作用とは作用の双対である。双対性があるとき、内積 S が保存される。したがって、スリアウは、群がその「運動量空間」に作用する第二の群作用を構成しようとした。しかし、この作用、いわゆる「共随作用」または「本質的作用」は、直接には現れなかった。そこで、私が「群がその接ベクトル上への反作用」と呼ぶ中間的な構造を経由しなければならなかった。
したがって、求められている作用は、群がその接ベクトル上への反作用の双対として現れる。そして、反作用の双対は、作用であり、次のように書ける：
(62)
A g (J)
ここで J は「運動量」である。これは「質点」の属性となる量の集まりであり、この作用、いわゆる「共随作用」は、これらの属性が運動によってどのように変化するかを示す。
後で述べるが、ある群が存在する。これはガリレオ群の拡張であり、後で紹介する。この群はバーグマン群（1960年）と呼ばれる。この方法をこの群に適用することで、その運動量 J B と、群がそれに対してどのように作用するかを構成できる。
スリアウは、次のようによく言う：
運動量は、その影のように運動に従う。
美しい比喩であり、「自然の文法」という著作から借用されたものである。質点は実際に時空 (x,y,z,t) を移動する。その際、その属性は変化し、この変化は群が運動量空間に作用する共随作用によって記述される。
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