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我々はバーガマン群のモーメントの成分を書き下すことはしない。図式的に、バーガマン群のモーメントを次のように書く：
J B = { スカラー m 、および他のモーメントの成分 }
共随伴作用
は、モーメントの異なる成分がどのように変換するかを示す。しかし、この共随伴作用は次の簡単な関係から始まる：
(63)
バーガマン群のモーメントに対する共随伴作用は、質量を保存することから始まる。このようにして質量は純粋に幾何学的なステータスを持つ。
ポアンカレ群のモーメント空間 J p 上での共随伴作用の構成。
もしすでに完全に混乱しているなら、無視して構わない。これは普通のことで、ページが進むにつれてさらに難しくなるだろう。この段階では、この先の内容が誰に向けられているのか、私自身もよく分からない。理論物理学者や数学者に向けられているのは間違いなく、おそらくは配管工や金属屋には向いていない。しかし、グラン・エコールや物理の学士号を取得した学生が頑張れば理解できるだろう。それらはただの行列に過ぎない。
すべては、4×4行列の形式の群、つまりローレンツ群を構成する行列 L から始まる。
これらは行列 G から公理的に定義される：
(64)
次のように定義される：
(65)
t L G L = G
ここで L の転置行列が関与している。
行列 L は群をなす。
証明。
単位元は L = 1 である：
L1 と L2 を集合の2つの要素とし、その積 L1 L2 が群に属することを確認する。もしそうであれば：
t ( L1 L2 ) G L1 L2 = G
しかし、
t ( A B ) = t B t A
であるから、
t ( L1 L2 ) G L1 L2 = t L2 t L1 G L1 L2 = t L2 ( t L1 G L1 ) L2 = t L2 G L2
次に行列 L の逆行列を求める。L の定義から：
t L G L = G
右から L-1 を掛ける：
t L G L L-1 = G L-1 ⇒ t L G = G L-1
左から G を掛ける：
G t L G = G G L-1 ⇒ G t L G = L-1
したがって、L の逆行列は：
L-1 = G t L G
つまり、
(66)
時空ベクトル。行列 G はミンコフスキー計量から来て、これは c = 1 として次のように書ける：
(67)
練習問題：逆行列が次の式を満たすことを示せ：
(68)
次に、時空並進ベクトルを導入する：
(69)
これにより、ポアンカレ群の元 g p を作る：
(70)
練習問題：これが群をなすことを示し、逆行列を計算せよ：
(71)
以下は「群の接ベクトル、つまりその「リー代数」の要素」：
(72)
これにより、反作用を計算する：
(73)
d g p ' = g p -1 x d g p x g p
計算の便宜上、次のことに注意する：
(74)
G d L は反対称行列である。これを次のように呼ぶ：
(75)
したがって、
(76)
次のように置く：
(77)
この資料を使って反作用を構成する：
(78)
d g p ' = g p -1 x d g p x g p
すべての計算を終えた後、次の写像を得る：
(79)
もし単なる行列計算のこの部分を飛ばしたいなら、式 (80) を参照せよ、下ページ参照
(79a)
(79b)
これにより、反作用の成分は：
(79c)
しかし、
(79d)
したがって、
(79e)
しかし GG = 1 なので、
(79f)
これにより、次の写像が得られる：
(79g)
これは求めている反作用であり、写像：
(80)
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