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一つの要素
g
p は、パラメータの系列 {
p
i} によって定義される。我々がすでに述べたように、この数は群の次元を表す。行列
d g
(g = e)
は、量 {
dp
i} で構成される。したがって、上の写像は次のようになる：
(81)
言い換えれば、スカラーの集合 {
dp
i} に同じ数のスカラー {
dp
i}'
を対応させる。
双対性は、次の通りにスカラーの不変性を仮定する：
(82)
ここで、n は群の次元（ポアンカレ群の場合、10）である。スカラー Ji は、同じ数のモーメントの成分を表す。
我々はこのモーメント J を2つの対象に分解することにする。一つは (4,4) の反対称行列 M であり、6つの成分を持つ。もう一つは「4元ベクトル」P であり、(4,1) の行列である：
(83)
(84) J = {
M,
p
, E} = {
M,
P }
内積を次の形で書く：
(85)
Tr は「トレースの」を意味し、さらに次のようになる：
(86)
線形形式であり、不変性が双対性を保証する。
ここで、
(87)
(87b)
(87c)
しかし、
GG
= 1
なので、これは次のようになる：
(88)
y の項を識別する：
(89)
つまり、
(90)
----> ここでも行列計算の詳細が続く。ご希望であれば、
ここをクリック
して直接結果に移動することもできる。
トレースにおいては、項の巡回的な入れ替えが可能である。
(90a)
(90b)
(90c)
右辺の第2項は、行行列と列行列の積に等しい。
これは、逆順の積のトレースに等しい（以下に、行行列と列行列の積の図式的表現を示す）：
(90d)
このトレースにおいて、巡回的な入れ替えを行うことができる：
(90e)
したがって、
(90f)
(90g)
ここでは、もう一度行列のトレースに関する定理を適用する。これは他の行列と対称行列の積である。
どんな行列も対称化または反対称化できる。さらに、行列と対称行列の積のトレースはゼロである。
(90h)
これは行列 (90i) に適用できる。
なぜならトレースを取るからである。
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
しかし、
(90l)
したがって、
(90m)
(90n)
(90o)
(90p)
そして、
(90q)
最終的に、
(90r)
まとめ直し、プライムを反対側に移動させると、群の作用を得る：
図
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