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ポアンカレ群の中心拡張。
このような拡張については、J.M.ソリアウの『動的系の構造』に記載されている。彼の幾何学的量子化の手法により、群から量子力学の式を再構成できる。たとえば、非相対論的質点を記述するバーグマン群は、非相対論的なシュレーディンガー方程式を導く。
出発点はガリレイ群である。これは次のように構成される5×5行列である：
(152)
回転行列は3つのパラメータ、すなわちオイラー角に依存する。したがって、この群の次元は10である。
以下の記法を用いる：
(153)
(154)
時空に対応する空間は：
(155)
いくらか奇妙に思えるが、この群の運動量空間への共随作用の構成において、質量mは幾何学的対象として現れない。これは、この群の非自明な拡張、すなわちバーグマン群（1960年）を介してのみ可能となる。
(156)
スカラーfの存在により、この群の次元は11に増加する。
この群は5次元の時空に加えて、追加の1次元zをもつ空間に作用する。その作用は以下の通りである：
(157)
バーグマン群の運動量空間への共随作用はすでに上記で示した。スカラーfの付加により群の次元が1増し、運動量にも新たな成分が加わる。この成分は質量mと同一視され、その保存性（m' = m）も保たれる。
バーグマン群を出発点とし、その幾何学的量子化の手法を用いることで、ソリアウは非相対論的なシュレーディンガー方程式を構成できる。
相対論的量子方程式はクライン-ゴルドン方程式である。したがって、この方程式がどの群から導かれるかを調べるのは自然な流れであった。その群は中心拡張：
(158)
「pe」は「拡張されたポアンカレ」を意味する。ここでは、ローレンツ群Loの正時成分（orthochrone subgroup）からポアンカレ群を構成した。
この群に対応する空間もまた5次元である：
(159)
(t, x, y, z, z)
この拡張はバーグマンのものより単純であるが、実際には相対論的理論では常に扱いが容易になる。補足として、第1行の1とfの間に存在しうる行列は、(0 0 0)というゼロ行列に限られることが示される。
幾何学的量子化の手法により、クライン-ゴルドン方程式が得られる。群がその運動量空間に作用する場合、以下のように得られる：
(160)
Jpe = {c, M, P} = {c, Jp}
計算は簡単である。実際、ポアンカレ群の運動量空間への共随作用の計算と完全に一致する。
まず、反作用を計算する：
(160b)
次に、内積（双対性）の不変性を表す：
(160c)
この計算をクリアできたなら、それは非常に良い兆しである。それは、あなたがこの複雑な世界にようやく入り込んできたことを意味する。
ここでは、保存量としてのみ機能するスカラーcが現れる。これは何を意味するのか？説明はない。単に「保存される何か」である。たとえば、電荷として解釈できる。
次に思いつくのは、このような拡張を複数回行う方法である：
(161)
後で示すが、この操作は無限に繰り返すことができ、毎回新たなスカラーが加わる：
(162)
Jpe = {c₁, c₂, c₃, ..., M, P}
Jpe = {c₁, c₂, c₃, ..., Jp}
共随作用は以下の通り：
(163)
このとき、運動量の成分の離散値を粒子の電荷と解釈する。
読者は「確かに、たとえば6行を追加すればよいのでは？」と疑問を呈するかもしれない。その場合、以下の保存量が得られる：
(164)
c₁ = e（電荷）
c₂ = cB（バリオン数）
c₃ = cL（レプトン数）
c₄ = cₘ（ミューオン数）
c₅ = cₜ（タウ数）
c₆ = v（磁気モーメント係数）
10次元空間：
(165)
(x, y, z, t, z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆)
(166)
再び、ローレンツ群の正時成分Lo（Lo = Ln：恒等成分）を基に群を構成する。
Lo = Ln（空間反転）
この2成分群は、粒子と相互作用せずに伴う6つのスカラーを単に生じさせる。運動量は以下のようになる：
(167)
Jpe = {q, cB, cL, cₘ, cₜ, v, Jp}
ここでJpは「ポアンカレ部分」である。しかし、これは実用的な意義は限定的である。
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