ソリアウは古いアックスのアパートに住んでいます。通りに通じるドアは壮麗です。玄関には珍しい車両が停まっています。それは古めの人力車で、所有者である女性、考古学者のものだと思われます。人力車は壁に寄せて置かれています。後は、二人の運び手を見つけて、長い木の棒をリングに通し、そこに座って散歩すればよいだけです。窓はガラス張りで、側面のガラスはハンドルではなく、革のベルトを使って下ろすことができます。これは私が子供の頃に使っていた鉄道の車両の仕組みに似ています。
こんなにも夢を膨らませるものです。私は人力車に乗ったことが一度もないと気づきます。現在の失業状況を考えると、古いアックスで最初の定期的な人力車の運行を始めれば、人々は生活を営むことができるでしょう。ただ、昔の人力車に似た車両を作ればよいのです。それほど難しくありません。その後、刺繍の入った服を二着、仮面を二つ手に入れれば、あとは進むだけです。ルートはミラボー通りです。これで十分でしょう。その後は夢を膨らませ、少しの想像力を働かせればよいのです。
ジャン＝マリーは猫のピウムとともに、豪華なアパートに一人暮らしをしています。部屋には金具や木製の装飾が施されています。ピウムはとても可愛いです。しかし私は猫にそれほど興味がないのですが、このピウムは特に親しみやすく愛情深いです。
私たちは通常、上の階にある台所で仕事をします。天井が低く、狭い部屋で、下の部屋の広さとは対照的です。ジャン＝マリーはいつも私に彼の好きな飲み物、アーティチョークを原料にしたフェルネ・ブランカを飲ませようとするのですが、私はそれが本当に不快で、彼がそれをすべての効能を持つと信じているのが不思議です。
彼が街を歩くときは常にGPSを持ち歩いて離れません。実際に、4万キロ離れた場所にある人工衛星に導かれるのは非常に興味深いことです。より良い受信を得るために、ソリアウは道路の真ん中を歩き、液晶画面に目を留めています。効果的ですが、それほど安全とは言えません。
私には、二人で一緒にいて楽しいと感じます。12月のある夜、彼を訪ねると、次のような会話をしました。
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ちょっとグループについて話そう。公理を覚えているか？
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はい、6つある。それは：
1 - 集合Eに属する要素a、b、c...が存在する。
2 - 集合の二つの要素を結合できる内部演算o（「円」）が存在する。
aは集合Eに属する。
bは集合Eに属する。
a o bは集合Eに属する。
3 - この演算は結合的である：
a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)
4 - 単位元eが存在し、以下が成り立つ：
a o e = e o a = a
5 - 集合のすべての要素aには、逆元a⁻¹が存在し、以下が成り立つ：
a⁻¹ o a = a o a⁻¹ = e
これは5つ？
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いや、5つ、4つ、あるいは1つともいえる。公理の数え方は絶対的なルールがない。1と2を一つにまとめてもよい：
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集合Eに属する要素a、b、c、などがあり、以下を満たす内部演算（結合則）がある：
aは集合Eに属する。
bは集合Eに属する。
a o bは集合Eに属する。
これは同等である。
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いいえ、5つでも4つでも構わない。どこに行きたいの？
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あなたが公理4と5と呼んだ、単位元と逆元に関するものを消して、サンドイッチの公理で置き換える。総数は：
1 - 集合Eに属する要素a、b、c...が存在する。
2 - 集合の二つの要素を結合できる内部演算o（「円」）が存在する。
aは集合Eに属する。
bは集合Eに属する。
a o bは集合Eに属する。
3 - この演算は結合的である：
a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)
4 - 集合Eに属する三つの要素a、b、cがある。
方程式：
a o y o b = c
は一意的な解yを持つ。
これを私がサンドイッチの公理と呼ぶ。ここで「ハム」yはaとbの間に挟まれ、cはサンドイッチの全体を表す。公理とは：
「サンドイッチからハムを取り出せる」という意味である。そして、これらの公理は群を定義し、以前のものと同等である。
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この一意的な解yは集合Eの要素である。なぜなら、演算は内部的で結合的だから。
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それは当然だ。
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しかし、それを言うことでさらに良くなる。あなたが単位元と逆元に関する二つの公理をどうやって再現するかは知らないが、少なくともあなたがこのアイデアに至った理由は理解できる。
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「これは何のため？」と考えた。
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まさにその通りだ。単位元は何のためなのか？単位元があるということは、「集合Eとその単位元があれば、その集合のすべての要素とそれ自身を結合して同じ結果が得られる」という意味である。これは私にはあまり意味がない。同様に、逆元は一体何のためなのか？群の計算で、何らかの機械で計算するとき、常に右または左に要素またはその逆元を掛けて、a o a⁻¹やa⁻¹ o aを出現させ、それをeに置き換え、b o eやe o bをbに置き換える。あなたのサンドイッチの公理は「機能的」だ。
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そう呼ぶなら。サンドイッチの公理から導かれる定理について話そう。最初の定理は：
I - 自身と結合すると自分自身になる単位元が存在する：
e = e o e
II - この単位元は一意的である。
証明：
サンドイッチの公理から、方程式a o y o b = cは一意的な解yを持つ。
これはb = c = aのときも成り立つので、a o y o a = aは一意的な解yを持つ。右からyを掛ける：
a o y o a o y = a o y
a o y = eとおく。これは集合の要素であり、aとyが集合に属し、演算が内部的だから。したがって、以下を満たす集合の要素が存在する：
e o e = e
定理Iは証明された。次に、定理IIの唯一性について。もし唯一性がなければ、別の要素fが存在し、以下を満たす：
f o f = f
すでに、e o e = eが成り立っている。右からfを掛ける：
e o e o f = e o f
再び右からeを掛ける：
e o e o f o e = e o f o e
結合性を用いる：
e o (e o f) o e = e o f o e
これは二つのサンドイッチである。これらをそれぞれp = e o (e o f)、q = e o f o eとおく。サンドイッチの公理により、「ハムを取り出せる」、つまり(e o f)とfは等しくなる。なぜならp = qだから。したがって：
(e o f) = f
もう一度、fに関する仮定から：
f o f = f
右からeを二回左から掛ける：
e o f o f = e o f
e o e o f o f = e o e o f
結合性を用いる：
e o (e o f) o f = e o e o f
もう一度サンドイッチの公理を使うと、e o f = eが導かれる。したがって：
e = f
定理III：この要素e「自身の二乗に等しい」を取ると、a o e = aを導く。
証明：
私たちは...