イタリア語
: アンドレア・サムブセッティ、ローマ大学
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1:1のスケールで描かれたモデルの図を表示し、印刷して切り抜くことができます。
2色のブリスティングボードに4枚コピーすることで、あなた自身がモデルを構築することができます。
組み立ての指示に従ってください。
あなたはおそらくこのサイトの最初のページの左側で、何らかの奇妙な物体が絶え間なく回転しているのを見たことがあるでしょう。それは何でしょうか？
ある日、時間ができたら、このサイトに1979年1月号のPour la Scienceに私が説明した「球体の反転」の説明を設置する予定です。つまり…22年前のことです！これは多くの詳細と導入が必要になります。では、「球体を反転させる」とはどういう意味でしょうか？一般的な人にとっての「球体」と数学者・幾何学者にとっての「球体」には意味の違いがあります。一般的な人にとって、球体は固定された点Oから距離Rの空間内の点の集合です。一方、幾何学者は、「変形された球体」、例えばジャガイモのように、それも「球体」と呼びます。これらの概念をより正確に理解するためには、LanturluのCDに収録されている「Topologicon」という漫画を入手してください。しかし、数学者はさらに進んでいます。表面が「正則」と呼ばれるのは、その表面のどの点においても接平面を定義できるときです。これにより、無限の変形可能な球体の形、例えばジャガイモの無限の形が考えられ、その表面の面積も任意に変化させることができます。しかし、現実の物理的宇宙では、球体の表面を内側から外側に反転させようとする人は、その表面が自己交叉しないこと、あるいは触れることさえも許されないため、不可能です。この仮定、つまり表面が自己交叉したり、触れることを禁止する場合、数学者は「球体S2の埋め込み」と言います。しかし、数学者は常に何でも許されます。彼にとって、球体は「仮想的」な物体であり、物質的ではなく、表面の交叉は可能とされています。以下の図は、自己交叉する球体を示しています。このような自己交叉を許す表現は「浸漬」と呼ばれます。
したがって、浸漬には自己交叉の集合（ここでは単純な円形の曲線です）があります。しかし、接平面は連続的に変化しなければなりません。この前提を踏まえて、上の図を見ると、表面の内側（緑色で表されています）が外側に移動しているのがわかります。反転を完成させるには、このような赤道部の「腸」を潰す必要があります。ここには問題があります。この潰しは接平面の連続性を破壊し、この変形は浸漬ではないステップを含むことになります。
ある日、アメリカの数学者スティーブン・スメールは、「S2の球体には1つの浸漬のクラスしかない」と証明しました。この謎めいた文は、標準的な球体から「反対極」の表現（つまり、各点が反対極と入れ替わったもの）に、真の浸漬のみを含む変換を介して移行できるという結果をもたらしました。言い換えれば…ひっくり返った球体です。ラウル・ボットはスメールの上司でした。この事実の形式的な証明は確かに正しいように見えましたが、誰も実際にこの反転操作を実現できませんでした。ボットはスメールに「どうやって進めるか見せてください」と尋ね続けました。すると、スメールは有名なように、率直に「まったく分からない」と答えました。その後、スメールはフィールド賞を受賞しました。数学のノーベル賞に相当します。余談ですが、なぜ数学にはノーベル賞がないのか疑問に思ったかもしれません。答えは簡単です。彼の妻は数学者と逃げたからです。
しばらくの間、この状態は続きました。その後、アメリカの数学者アントニー・フィリップスが1967年に『サイエンティフィック・アメリカン』にこの反転の最初のバージョンを発表しました。これは非常に複雑でした。その後、1970年代初頭にフランスの数学者（視覚障害者）ベルナール・モーリンによって2番目のバージョンが考案されました。私は最初にこの変換の連続図を描きました。これは私がすでにご案内した、このサイトで近日公開される記事の対象になります。ただし、この記事は非常に豊富です。しかし、これにより、いくつかの考察に至ります。表面は多面体の形で表すことができます。立方体や四面体は、同じトポロジーを持つため、球体の多面体的表現と見なすことができます。この点については、私の『Topologicon』をご参照ください。さらに、球体を反転させることができるなら、立方体も反転させることができるだろうということがわかります。ベルナール・モーリンが考案した変換（私が1979年1月号のPour la Scienceに図解したものです）は、中央モデルを通じて行われます。この連続には対称性があります。これは私が「4つの耳を持つ中央モデル」と呼ぶものです。私は先に話しています。しかし、球体が多面体的表現に適しているように、この変換の次のステップも同様です。私のホームページで回転しているのは、私が10年前に考案した球体反転の中央モデルの多面体的バージョンです。このような多面体モデルの利点は、平面の表面で構築できるということです。紙とハサミで作ることもできます。以下の図を見てください（括弧内では、正しい寸法の要素を作成してくれた友人のクリスophe Tardyに感謝します）。
大
これは、ここに一般的なビューの組み立て用の平面図です。しかし、印刷するには、カットアウトページに移動した方が良いです。それを印刷してください。その後、通常のプリンター用紙に印刷したこのコピーを手に入れ、同じものを4枚コピーしてください。2枚は緑色のブリスティングボードに、2枚は黄色にコピーしてください。これらの切り抜き可能な用紙を使って、立方体の反転の中央モデルを構築することができます。
切り抜く要素には、文字のペアがあります：a、b、c、d、e、fなど。同じ文字を重ねるようにして紙を折り、透明テープで面を固定するだけで十分です。続く図は、4つの要素の1つを組み立てる方法を示しています。まず、4つの要素の1つをどのように折り始めるかを示します：
これは4つの要素の2つで、異なる角度から見ています。
その後、4つの要素を組み合わせて、4次の対称性を持つオブジェクトを作ります。緑色と黄色の要素が交互に配置されます。3Dで見たい場合は、Tardyの実装、つまり「バーチャルリアリティ」セクションを見てください。中央モデルは組み立てられており、このセクションでは「vrml」形式で実装されています。以下は、さまざまな角度から再現されたものです：
「上」と「下」の視点を区別することはできません。なぜなら、これらの用語は完全に任意だからです。左の画像では、「中央」のポイントはモーリンの中央モデルの「二重点」（2つの面が交差する点）に対応し、右の画像の中央のポイントは同じモデルの「四重点」（4つの面が交差する点）に対応します。私は非常に注意深くオブジェクトを配置し、左の画像がスワスティカ（ヒトラーの象徴）を想起しないようにしました。それ以外は、建築的な観点から、この中央モデルの多面体的表現…