クロスキャップを、選択可能な右または左のボー表面に、ローマン・ステインァー表面を経由して変形する方法。
2003年9月27日
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ここで、モデルを別の角度から提示する：
プランチ14：同じ操作を繰り返し、自己交差曲線の第3の「耳」を形成する。多面体表現では、これは共通頂点を持つ3つの正方形の形をしている：三重点T。
プランチ15：物体を回転させることで、私が『トポロジコン』で紹介した多面体的ボー表面のバージョンが再現される（その中に、実際に作成できるようにするための展開図が含まれている）。
最後のプランチ：ステインァー表面（6次ではなく4次）が、変形しながらボー表面に変わる様子を試みた。図示した。
「丸っこい」形では、この対象を理解するには相当な慣れが必要である。視線が一つの直線上に2枚以上の面が重なっている物体を理解する際、私たちの目は非常に不快感を覚える。そのため、多面体的表現が重要となる。これは、一般の人々が自らモデルを構築する努力をすることで、幾何学的に高度とされる変形を身近に感じられるようにする。その過程で、選ばれる尖点ペアによって、右または左のボー表面が得られることがわかる（これらの語はまったく任意である）。射影平面は、鏡像の2つの「エナンチオモルフィック」な表現として浸漬される。右のボー表面から左のボー表面へと移行するには、中間のモデルであるローマン・ステインァー表面を経由することが可能である。
このような図が『パウル・ラ・サイエンス』や『ラ・リサーチ』に掲載されれば、きっと楽しいだろう。だが20年間、私は「UFO的異端思想」のため、これらの雑誌での発表が禁じられている。ヒルベ・シス氏、フィリップ・ブーランガー氏、ありがとうございます。このような記事を何百回も送ったが、どれも丁寧に却下された。やがて、この「追放者」の立場に慣れてしまう。
偶然の話だが、フランスには数学の一般向け書籍を表彰する「アラムベル賞」という賞がある。その審査委員の一人から、その話が聞かされた（賞金も少なからずある）。対話の様子を紹介しよう：
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しかし、ピペットに賞を授けることはできないだろうか？『ジオメトリコン』『ブラックホール』『トポロジコン』といった、非常に優れた著作を手がけている。
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そうですが、それだけではありません。
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何を指しているのですか？
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『沈黙の壁』も書いているのです。
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なるほど、それなら……
ええ、1983年に出版された『沈黙の壁』は、MHD（磁気流体力学）に捧げられた作品である。誰もが知っているように、この危険な科学は、飛行物体が音速を超えて飛行する際、爆音を出さずに済むという特徴（あるいは悪戯）を持っている。
この科学を隠しておいて、私が見られないようにしてほしい。
私は、美しくて中心モデルが極めて洗練された「立方体の裏返し」のバージョンを自作しており、これはモリンの多面体的バージョンとは異なる。すべて私のオリジナル。いつか……。
2003年10月22日
カウンターの数字を見る限り、このページにはあまり人が集まっていない。2003年10月13日、トロトマンの招待で、マルセイユ・シャトー・ゴンベールの数学・情報学センター（CMI）でセミナーを行った。その際、約30点の紙模型を並べ、いずれの模型も、クリストフ・タルディによって撮影された。近いうちに皆様に初公開する予定である。
セミナーを行うと、特定の雰囲気が生まれる。次の写真では、幾何学者が困惑している様子が見える。
背景には展示された模型の一部。ある瞬間、私はこう尋ねた：
- これまでにローマン・ステインァー表面を見た人はいますか？手を挙げてください。
誰も手を挙げなかった。そこで、実際の仮想的な物体を、私が持参したノートパソコンで紹介することにした。これは、エンジニアのクリストフ・タルディと、グローヌーブのラウ・ランゲヴィン研究所（ILL）のフレデリック・デスカンの協力で作成したものである。明らかに、この展示は聴衆を困惑させた。数学的な表面が自由自在に回転する様子は、彼らにはあまり馴染みのない光景だった。
前景に見える2枚の紙板は、模型の順序を論理的に提示するのに役立った。緑と黄色の模型は、尖点ペアの生成・消滅という基本的な道具を、多面体的に示している。最も遠くにある白い模型は、クロスキャップの多面体的表現であり、まずローマン・ステインァー表面の多面体的表現に変形し、さらに1メートルほど進んで、右または左のボー表面に自由に変形できる。
模型の分析を通じて、聴衆からいくつかの意見が上がった。ある幾何学者が尋ねた：
- こうして模型を順にたどっていくと、クロスキャップからボー表面へと変化できる。逆に、ボー表面からクロスキャップへと変化できるのだろうか？
私は肯定的に答えた。さらに意気揚々とした相手は、こう付け加えた：
- ローマン・ステインァー表面の段階で止めるなら、その後、鏡像のボー表面へと戻ることができるのだろうか？
私は再び肯定した。だが残念ながら、この奇妙な世界について説明する人は誰も現れなかった。閉じた曲面の浸漬において、尖点をペアで生成または消滅させ、それらが全体として幾何学的浸漬の拡張を形成するという世界。この概念には、「サブマージョン（下沈）」という言葉がふさわしいように思える。もし読者の誰かがこの点について明解な情報を得たなら、ぜひ共有していただきたい。
尖点における集中した曲率
この曲率は、頂点における角度の総和を計算し、それをユークリッド空間の総和2πと比較することで得られる。
左上には、尖点の多数の多面体的表現の一つを示した。右側の「分解」によって得られる角度の総和は、ユークリッド空間の2πを2αだけ上回る。したがって、この点Cの周辺に集中する角曲率は-2αとなる。もし角度αがπ/2に等しければ、負の曲率はc（下左図）となる。実際、尖点に集中する曲率は、無限に多くの値を取り得る。右下では、角度の総和をさらに増やし、曲率が2αより小さくなるようにしている。これにより、負の曲率がさらに強調される。
逆の操作を行うと、驚くべき状況に至ることもある：点Cに集中する角曲率を……ゼロにすることができる。
ここから、2つの尖点がそれぞれ曲率-πに等しい多面体的クロスキャップの表現を出発点とする。
8つの「ポジコイン」が+π/2の値に対応する。さらに4つの「ポジコイン」（曲率+π/4）と4つの「ネガコイン」（曲率-π/4）を加える。そして、2つの尖点（曲率-π）を加える。
合計：2π
この総曲率を2πで割ると、射影平面のすべての表現（ボー表面など）のオイラー・ポアンカレ特性が得られる。
私の講演の中で、球の裏返しを用いてクロスキャップの2つの尖点を交換する方法について述べた。もしかしたら、私のウェブサイトにその記述があるかもしれないが、記憶にない。サイトはあまりにも複雑で、探す必要があるだろう。もしその記述が見つからなければ、いずれどこかに載せるつもりだ。とても面白い話だ。T...