キューブの反転モデル
2001年12月31日
あなたはすべて、ウェブサイトのホームページの左側で、終わりのない動きをしている不思議なオブジェクトを見たことがあるでしょう。これは何でしょうか？
いつか時間ができたら、私はサイトに、1979年1月号の「Pour la science」に私が図解した球体の反転についての説明を掲載する予定です。それはすでに...22年前のことです。もちろん、これには多くの詳細と導入が必要です。球体を反転させるとはどういうことでしょうか？一般の人にとって球体は、3次元空間において、固定点Oからの距離がRであるすべての点の集合として定義されます。幾何学者は、球体を「変形した球体」や「ジャガイモのような」物体として呼ぶかもしれません。これらの概念をより正確に理解するには、「Le Topologicon」というコミックが収録されているCD Lanturluを入手してください。しかし、数学者はさらに進みます。表面が「正則」であるとき、その表面上のどの点でも接平面を定義することができます。これにより、無限の「初期の球体」の変形、つまり無限の「ジャガイモ」の形にすることが可能になります。さらに、その表面の面積は任意であることもできます。しかし、物理的な「宇宙」において、この球体を変形しようとする人は、自分自身を貫通させることは不可能であることに気づくでしょう。もし、貫通や接触が禁止されているとすれば、これは「球体S2の埋め込み」と呼ばれます。しかし、数学者はすべての権利を持っています。彼にとって、球体は「仮想」のオブジェクトであり、シートの貫通が可能になります。以下の図は、自分自身を貫通した球体を示しています。このような球体の表現は「浸漬（immersion）」と呼ばれます。
浸漬には、
自己交差（self-intersection）の集合があります（ここでは単純な円形の曲線）。接平面は連続的に変化しなければなりません。しかし、上の図を見ると、球体の一部（緑色で示されている）が内側から外側へと回転していることがわかります。このような反転を完了するには、このような「エクアトリアルなブーツ」を潰す必要があります。これは一見して問題があります。この潰しは接平面の連続性を破るでしょう。したがって、この操作には「浸漬ではない」ステップが含まれます。
ある日、アメリカの数学者スティーブン・スメールは、「S2の球体はただ一つの浸漬のクラスを持つ」と証明しました。この意味不明な文の結果は、標準的な球体からその反対側の表現（つまり、すべての点が反対点に置き換えられたもの）に移行できる浸漬の連鎖を可能にするということでした。要するに、表と裏が逆転した球体です。ラウル・ボットはスメールの指導者でした。スメールの証明は純粋に形式的で、間違いがないように見えましたが、誰もどのように実行するかはわかりませんでした。ボットはスメールに「あなたがどのように進めるかを示してみてくれ」と繰り返し言っていましたが、スメールは有名な舌の毛のせいで「まったく分からない」と答えていました。その後、スメールはフィールズ賞（数学のノーベル賞に相当）を受賞しました。その間、あなたはなぜノーベルが数学のノーベル賞を作らなかったのかと疑問に思うかもしれません。答えは簡単です。彼の妻が数学者と逃げたからです。
しばらくの間、状況は変化せず、1967年にアメリカの数学者アントニー・フィリップスが『Scientific American』にこの反転の最初のバージョンを発表しましたが、それは非常に複雑でした。その後、1970年代初頭にフランスの数学者（失明している）ベルナール・モーリンによって第二のバージョンが考案されました。私はこの変換の連続図を最初に描いた人で、すでに述べたように、これはサイトで今後公開される論文の主題になります。しかし、これは補足的な結論に至らせます。表面は「多面体表現」を持つことができます。立方体や四面体は、同じ「トポロジー」を持つため、球体の多面体表現として考えることができます。この点については私のコミック「Le Topologicon」を参照してください。さらに、球体を反転させることができるなら、立方体も反転させることができるということがわかります。ベルナール・モーリンが考案した変換（1979年1月号の「Pour la science」に私が図解したものです）は「中央モデル」を通じて行われます。このシーケンスには対称性があります。これを「四耳の中央モデル」と呼びます。私はすでに予測していますが、球体が多面体表現に適しているように、この変換の各段階も同様です。私のホームページで回転しているオブジェは、球体の反転の中央モデルの多面体表現であり、私は10年前に考案したものです。このような多面体モデルの利点は、平面の表面で構築できることです。また、切り抜きに沿って配置することもできます。以下の図を見てください（この図の正しい寸法を提供してくれた友人クリスティーフ・ターディに感謝します）。
これは、小さなサイズで印刷機から出力される図です。利用できません。
A4用紙にこの図を印刷するには、
まず、A4の厚紙で4枚コピーをとります。2枚は一つの色、2枚はもう一つの色です。
これは、切り抜きの全体像です。しかし、印刷するには、まず「切り抜き」のページに移動してください。それを印刷してください。その後、通常の印刷用紙で印刷したこのページを持って、コピー機に行き、この図を4枚コピーしてください。2枚は緑色のブリスタル紙に、2枚は黄色の紙にコピーしてください。この切り抜きを使って、キューブの反転の中央モデルを構築できます。
この切り抜きの各部には、a、b、c、d、e、fなど、対の文字がついています。同じ文字が一致するように折りたたみ、透明テープでこれらの面を組み立てます。以下の図は、4つの要素のうちの1つを組み立てる方法を示しています。まず、4つの要素の1つを折りたたむ方法を示します：
これは、4つの要素のうちの2つで、異なる角度から見たものです。
これらは、4次の対称性を持つオブジェクトまたは緑色と黄色の要素を交互に配置することで組み立てられます。これを3Dで見るには、ターディ氏の「バーチャルリアリティ」の作品を見てください。完全に組み立てられた中央モデルは、このセクションで「VRML」形式で提供されます。以下は、このオブジェクトのさまざまな角度からのビューです：
「上」と「下」を区別することはできません。これらの用語は完全に任意です。左のビューでは「中央の点」はモーリンの中央モデルの「二重点」（2つのシートが交差する点）に対応し、右の中央の点は同じモデルの「四重点」（4つのシートが交差する点）に対応します。このオブジェクトを正確に配置して、左の図が「ギルトクロス」に見えないようにしました。そうでなければ、このモーリンの中央モデルの多面体表現は、ナチス国家芸術館の建設プロジェクトとして非常に適していたでしょう。
最後のビュー：
最後のコメント：球体の反転（または立方体の反転）には、良い多面体表現は存在しません。「良い」とは、このように比較的簡単に切り抜きとして組み立てることができる十分に明確なモデルの連鎖を意味します。このような研究は、誰でも行うことができ、数学に詳しくない人や彫刻家などでも可能です。20年以上前、私はアックス・アン・プロヴァンス美術学校で彫刻の講師を務めていました。当時はまだ私の親友ジャック・ブリエールが校長でした。その場所で、最初の「ボーの表面」の南半分の表現が、楕円を用いて作られました。これは、アペリーによる最初の陰伏方程式の構築の鍵でした。当時は、芸術の学生たちの幾何学的な創造力が、しばしば「幾何学者」のそれよりも優れていることに驚かされていました。
2001年12月31日にカウンターが初期化されました。接続数
:
