球の反転
8
12月
2004
4ページ
ベルナール・モランのバージョン
1979年のB.モランとJ.P.ペティの論文のPDF版をダウンロードする
球の反転
（2.8MB）
外側が灰色で内側がピンクの球から始めます。
上部の図で、極を接触させます。その後、層同士が「肘の災難」によって重なり合い、閉じた自己交差曲線が生成されます。
下部右側の三つの半切断図は、得られた構造をよりよく理解するためのものです。この段階で球は、円形の「空気船」と似ており、「チューブ」（縁）と二重壁の「床」を持っています。
第一段階：「肘の災難」。自己交差する閉曲線の生成
第二の操作：再び「肘の災難」。第二の閉曲線が生成される。
二度目の自己交差する閉曲線の生成。
このように、「空気船」はねじれの動きを伴って折りたたまれ、直径方向に反対する「チューブ」の二つの部分を接触させました。
次の図は、二つの災難によって「ミカンのスライス」が生成された結果です。
二つの「ミカンのスライス」の生成後
左側では、モデルに切断を行いました。中央では、局所的に「ガンマ」の形をした二つの円筒がどのように重なり合ったかを示しています。ミカンのスライスが生成される災難は、二つの平面で「丸太」を切断することで起こることを思い出してください。この「ガンマ」形の断面を持つ各円筒構造には、丸みを帯びた断面と二面角が両方含まれています。図iをよく見てください。
jでは、自己交差の全体像を描いています。最も大きな閉曲線は、最初の「肘の災難」によって球が「空気船」に変形した際に生じたものです。二つのミカンのスライスが生成された後、より複雑な構造が得られ、
jはその部分構造です。図
jでは、この構造が、四面体の非隣接な二つの辺に接続された二つの「ミカンのスライス」の組み合わせに似ていることがわかります。
これらすべては、アニメーションを制作できるようになったら、はるかに理解しやすくなるでしょう。技術的にはまったく問題ありません。時間の問題です。空間を視覚化できる人は稀です。つまり、線、点線、色、影、反射といった記号のコードを読み取り、その動きを想像して連続的な変形を頭の中で展開できる人は、さらに稀です。
いつかすべてのことを実現する時間を持てることを願っています。傍らで、多面体モデルを用いることもできると気づきました。たとえば、クロスキャップをボーの曲面に変形する方法を示すために私が行ったようにです。これこそが未来です。しかし、これらのモデルは、自分で発明しなければなりません。
以降では、ベルナール・モランが考案したこの変形の中心的なモデルの最適化された多面体版と、その切り抜きから自作する方法を示します。
なぜ私はこれ以上深く進んでいかなかったのか。おそらく「出口が見つからなかった」からです。数学の雑誌でこのような研究を掲載するところはほとんどありません。1975年から1978年にかけて、パリ科学アカデミーの『C.R.』にいくつかの短報を掲載することはできましたが、おそらくそれらは広く読まれたとは言えません。ただ、当時、アカデミー会員のアンドレ・リシュネロヴィッチが個人的にこの研究に興味を示いていたからです。彼はすでに亡くなりました。1975年にはこの研究は完全に完成していたので、私の図をもとにアニメーション映画を制作するべきだったでしょう。私はアニメーションの制作経験もあるので、このようなプロジェクトを指揮する能力がありました。しかし、CNRSから資金を調達することはできず、結局、アメリカの数学者ネルソン・マックスが、同僚チャールズ・パウが作成した模型を参考にし、強力なコンピュータを用いて、初めての映像を制作しました。しかし、これはフランス人が努力しても反応が得られず、より組織的で支援の厚い外国人研究者に先を越される、初めてでも最後でもない出来事です。
では、第三段階、最も理解しにくい段階に移りましょう。
「パンツの災難」の準備
図kでは、「パンツの足」の両端が明確に識別できます。その詳細は前面のk'に示されています。白い矢印は「股間」を通る経路を示しています。この変形は本当に理解しにくいものです。より明確に伝えるために、図mを追加しました。図lでは、点線で自己交差曲線を表しており、全体像は図l'にあります。矢印の示す経路が閉じようとしています。この閉じる動きは、交差曲線の一部が二か所で上昇することと伴います。この曲線の端は、それぞれ「ミカンのスライス」の線に接触します。接触が生じると、手術が行われます。困難なのは、前のページで四つの基本的な災難を学んだ後、首をひねってあらゆる角度からそれらを把握しなければならない点です。図nでは、手術が行われる「臨界点」（変形の「中間状態」）を示しています。このとき、曲線の端の接続方法が変化します。この「パンツの災難」は、ある経路を閉じ、別の経路を開くという特徴を持っています。初期の経路は白い矢印で示されています。しかし、モデルを垂直軸を中心に180度回転させれば、同じ角度から別の経路が見えるでしょう。これらの矢印は、実際には一つの経路です。これらの災難が起こる前は、「折りたたまれた空気船」内をまだ移動できます。しかし、災難が起これば、この経路は使えなくなります。代わりに、二つの新たな経路が生成されます。しかし、どこに？ どの空間領域が関係しているのでしょうか？ これらの経路は、ミカンのスライスの内部と外部をつなぎます。図l'では、ミカンのスライスが見えます。次の段階に進みましょう。
経路の閉鎖。二重の臨界状態へ
図e n oでは、二つの「パンツの災難」を異なる段階で示しています。
一方の経路は完全に閉鎖されています。臨界状態にあり、曲線の弧が接続方法を変える直前です。
右側（図o'の詳細）では、経路がまだ閉じようとしています。そのため、図o"の自己交差曲線の外観は左右で異なります。
図p、p'、p"では、両側で臨界状態（変形の中間状態）に達しています。
次のページでは、手術が完了しています。図p"で見られた、ミカンのスライスと外部をつなぐ「チューブ」が、今や完成しています：
二つの「パンツの災難」が効果を発揮しました。経路（白い矢印）が開かれています。
今後、これらの変形がさらに進んでいきます…