トーラスの反転
2004年12月9日
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これらの研究から得られた副産物：トーラスの自明な反転
もしこれまでのところ、球面を反転させることがこれほど複雑であったなら、逆にトーラスを反転するのは非常に簡単である。十歳の子どもでもできると言ってよい。実際、トーラスとは、一つのハンドルを備えた球面にすぎない。クロスキャップの二つの尖点を交換したときに行ったのと同じように、球面をただひっくり返すだけである。その結果、ハンドルは内部に位置する。いわば「橋」が「地下トンネル」に変化する。しかし、道路工事の技術者たちは皆知っているように、道路網におけるいかなる地下トンネルも、正則なホモトピーによって点に変換できる。
球面が反転されると、そのトンネルに指を差し込み、すばやく引っ張るだけでよい。以下の図を参照されたい。
トーラスの自明な反転
この図ではやや見えにくいが、図中のaにはトーラスの生成円の一つを示している。この生成円は、メッシュの特異点を生じさせず、トーラスをマッピングするための二つの円の族の一つである（『トポロジコン』を参照）。ハンドルが、ハンドル付き球面の一部の領域に集中したときb、この曲線は依然として見える。ハンドル付き球面が反転され、cの状態になり、作業者が指をトンネルに差し込むと、この曲線はその指を囲むようになる。そして、dのように「ハンドルを引き抜く」とき、最終的な画像e（反転されたトーラス）を見ると、この円が表面の「首輪円」となっていることがわかる。したがって、もともと、経線と緯線の二重網目によってトーラスがマッピングされている場合（首輪円はこの第二族に属する）に、反転操作によって、この二つの族が交換されることがわかる。これは何か魔法のようであり、正直に言って、私の理解をはるかに超えている。誰もが自分の限界を認識すべきである。私は個人的に、ある種の思考プロセスにおいて、脳にはフューズが必要だと考えている。
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