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測地線
...以下では、2次元の面について扱います。ところで、なぜ面は2次元の対象なのでしょうか？それは、その上の点を特定するには2つのパラメータが必要だからです。例として、地球の経度と緯度があります。
...これらは、頭で理解するよりも実際に手を動かして理解したほうがよいものです。このテキストを読み始める前に、いくつかの物を用意してください。必要なものは：
- 丈夫で柔らかい紙
- 色付きのテープ
- 剪定ハサミ
...以降、この種の色付きテープを使って、一定の幅の帯を作ることができます。
(6)
...どんな面でも構いません。例えば、あなたの車のボディなどです。テープを慎重に折れ目を避けて貼ると、その面の測地線が得られます。あなたの車のボディには無限に多くの測地線があります。
平らな板でもできます。その場合、あなたの平面の「直線」が得られます。
「直線」は、平面の特別な測地線です。
(7)
3本の測地線で、この「ユークリッド面」上に三角形を作ります。その3つの角の和は180度になります。
ポジコン
...では、今度は「ポジコン」という「正の円錐」を作りましょう。ただ単に紙の断片、つまり平面を取って、ハサミでセクターを切り取ります。その後、図に示されているように、SAとSBの線を一緒に貼ります。
(8)
...ここで、私たちのテープを使って、図(9)に示されているように、この面に3本の測地線を描きます。3つの角の和を測定すると、2つの場合があります：
このポジコンの頂点Sを含まない三角形の場合、和は180度のままです。
このポジコンの頂点Sを含む三角形の場合、それが小さくても大きくても、和は：180度＋q になります。
(9)
理解を深めるために、ポジコンを切り取り、平らに広げてみてください。すると、角度qがはっきりと見えます。
(10)
...AHの2本の直線と、したがってSHとSH'の直線がqに等しい角度をなしていることを簡単に確認できます。
...円錐は、頂点を通る線に沿って切ることで平らにできる面です。フランス語では「開かれる面」といいますが、私の辞書には英語の語が見つかりません。円柱の場合も同じです。
(11)
...あなたは、テープを使って円筒上に測地線を描くことができます。しかし、切り取りを行い、円筒を平らにした後、測地線は...直線になります。
また、このような面（円錐、円筒）を平面に転がすこともできます。次の図を見てください。
(12)
...あなたは、インクを使って円錐や円筒上に測地線を描き、それを平面に転がして、印刷マトリクスとして使います。その結果、平面に直線が得られます。
...逆に、平面に直線を描き、その上に円錐や円筒を転がし、インクが乾く前に、それらに測地線を印刷することができます。