a103
| 3 |
|---|
（正の）曲率。****
私たちは、テープを使って平面上に三角形を描くと、角度の合計は180°になります。これはユークリッド面です。この面には曲率が含まれていません。これは本当に平面です。三角形の角度の合計はユークリッド的な合計です。私たちは、コーン（「ポジコーン」と呼ぶ）に三角形を描き、頂点Sが外側にあるとき、角度の合計は180°でした。逆に、頂点Sが内側にあるとき、角度の合計は180°に角度q（私たちがポジコーンを構築するために実施した切り抜きの角度、図（8）を参照）を加えたものです。
この頂点は、表面の特別な点、つまり「円錐型の」点であり、ある種の（正の）集中された曲率を含んでいると言えます。これは、集中された（正の）曲率の点です。
今では、角度q1とq2に該当する2つの切り抜きを行うことができます。図（13）を参照してください。すると、S1とS2という2つの円錐型の点を持つ不思議な表面が得られます。図（14）を参照してください。
（13）
（14）
今では、さまざまなケースに応じて、任意の数の測地線三角形を描くことができます。
-
それらが円錐型の頂点を含まない場合、角度の合計は180°です。
-
それらが頂点S1を含む場合、角度の合計は180°にq1を加えたものです。
-
それらが2つの頂点q1とq2を含む場合、角度の合計は180° + q1 + q2です。
（15）
今、たくさんの小さなポジコーンを作り、図（16）に示すようにそれらを貼り合わせることができると想像してください。それぞれの小さなポジコーンは、基本的な角度Dqに対応します。これらの小さなコーンを規則的に配置することができます。つまり、頂点と隣接する小さなコーンの頂点との距離は、どこでもほぼ一定です。
（16）
もし小さなコーンがどんどん小さくなり、それに伴う基本的な角度Dqも小さくなると、一定の「曲率密度」を持つ規則的な表面の一部を構築することになります。
球は、一定の局所的曲率密度を持つ表面です。言い換えれば、球は一定の曲率を持つ表面であると言えます。
もし小さなコーンを別の方法で配置すると、局所的曲率密度が変化する表面を構築することができます。例えば、卵です。鶏の卵は、局所的曲率密度が変化する表面です。しかし、ピンポンボールは、一定の曲率密度を持つ表面です。そのため、鶏は自分の卵を認識し、ピンポンボールと区別することができます。それは、テープを使って測地線を描くことで、などです...
実際には、鶏は物体に物理的に測地線を描くわけではありません。それは「頭の中で」行うのです。
（17）
一般相対性理論では、質量密度rを局所的曲率と同一視します。
もちろん、一般相対性理論の舞台は2次元の表面ではありません。3次元の超面を想像できます。3次元の超球を想像できます。しかし、4次元の超面を想像できる人は誰でしょう？
また、4次元の超面と呼ばれる「宇宙」の4次元曲率には、ここでは探求しない特殊な特徴があります。これは、教育的モデルには限界があることを示しています。しかし、これらは想像力を刺激し、やや異なる世界に向かって心を開くために役立ちます。