a104
| 4 |
|---|
天体の図解（星、惑星、密な卵）
** **太陽のような星は質量の集中です。周囲には、非常に薄いガスと光子を含んでいるため「ほぼ空虚」な空間があります。2次元では、対応する図解は鈍角の（posi）円錐になります：
(18)
これは2つの部品で作ることができます。球の一部と（posi）円錐の一部を接着します。球の一部は一定の曲率を持つ表面です。円錐の一部は平面で、局所的な曲率がゼロの表面です。この最後の例はユークリッド面です。球の一部は非ユークリッド面（リーマン面）です。
これは、空虚に囲まれた一定密度のオブジェクトの2次元図解です。
どのようにして2つの要素を結合して、接平面の連続性を保証するのでしょうか？簡単です。あなたの円錐の一部は、角度qに対応する切断を持つ円錐から来ています。あなたの球の一部は、基本的なミニ（posi）円錐から構成されており、ある「角度の曲率量」qを含むように設計されています。もし2つの角度が等しければ、接平面は連続になります。
しかし、球の特定の部分に含まれる曲率の量をどうやって測定するのでしょうか？
総曲率。
私たちは基本的な（posi）円錐を結合して表面を作ることができます。一定の曲率密度の表面を得るために整列させることができます。その場合、表面が球の一部であることがわかります。もしさらに多くの基本的な（posi）円錐を追加すれば、球は完全になります。それはある角度の曲率量を含みます。すべての球は同じ量を持っています。ピンポン玉の総角度曲率と地球の総角度曲率は、非常に異なる重さを持つにもかかわらず等しいです。
ちなみに、卵の総曲率も同じです。なぜなら、同じトポロジーを持っているからです。原則として、鶏は球体のトポロジーを持つ卵を産みます。私はトーラストポロジーを持つ卵を一度も見たことがありません。それは頭も尾もない変な蛇のようなものになるでしょう。
ピンポン玉や通常の球に戻りましょう。この表面が一定の局所的角密度を持つなら、角度の曲率量（基本的な角度Dqの合計）は面積に比例します。図19を参照してください。この面積はどんな境界でも制限できます。しかし、球の測地線を使うことができます。球の面積をS、三角形内の灰色の面積をsとします。
(19)
上記で、三角形が表面に描かれた場合、ユークリッド合計（180°）からの（正の）ずれは、内部に含まれる円錐の頂点の数に依存することを見ました。合計は180°に、その頂点に対応するすべての角度を加えたものです。
逆に、もしユークリッド合計からのずれを測定すれば、三角形内に含まれる曲率の量を測定できます。
球の測地線は、球の「大円」と呼ばれます。図（20）を参照してください。経線や赤道は、球の大円です。
(20)
私たちは球を8つの等しい面積のピースに切り分けられます。図（21）を参照してください。8つの三角形が得られ、すべての角度は90°です。ユークリッド合計からのずれは90°です。これらの三角形のそれぞれは90°の角度曲率を含みます。結論として、球の総曲率、つまり総角度曲率は8 × 90° = 720° = 4πです。
(21)
各グレーマークの三角形はπ/2を含みます。
曲がった表面やリーマン面の幾何学を楽しんでいますか？
もし私たちの鈍角円錐に戻ると、角度曲率は円形の境界内、一定の曲率密度領域に含まれています。円錐の側面、壁は限られた表面ではありません。無限に広げることができます。角度曲率の量は境界の円周や球の一部の面積に依存しません。この最後のものは縮小できます。図（22）を参照してください。たとえ単純な点にまで縮小しても、同じ角度曲率量を含みます。そのため、尖点は集中した曲率点であると述べています。逆に、尖点の集合から滑らかな表面を作ることができます。
物質は原子からできています。原子は点的なオブジェクトと見なすことができます。これらは3次元空間における「集中した曲率点」です。
あなたが呼吸している空気は一定密度の媒体です。分子や原子から構成されています。これは集中した曲率点の集合であり、ユークリッド空間の一部で結ばれています。あなたはこれを一定の曲率の媒体とみなします。
次に呼吸するときに、考えてみてください。
(22)