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ネガコーン。
今、我々が「ネガコーン」と呼ぶものを構築しましょう。ポジコーンを構築するには、平面からセクターを切り取りました。ここでは、角度ｑに相当するセクターを追加します：
(30)
この表面に、我々のテープを使って測地線を描き、その中の3本を使って三角形を作成できます。角度の和を測定すると、180°－ｑであることがわかります。これを負の曲率の集中と呼びます。
ご自宅にも負の曲率を持つ物があります。例えば、いくつかの椅子があります：(30 bis)
もし円盤を取り扱うと、図(31)のようになります：
(31)
もちろん、3本の測地線で構成された三角形が頂点S（すべての負の角曲率を含む）を含まない場合、角度の和はユークリッド幾何学の180°になります。
馬の鞍。
** **角度－Dqの多数の基本的なネガコーンを構築し、結合することができます。隣接する頂点間の距離をほぼ一定にしたい場合、このような方法で一定の負の曲率密度の表面、つまり馬の鞍を作成できます。しかし、この表面は閉じることはありません。
一般的に、幾何学者はこれを一定の負の曲率の表面と呼びます。(32)
「鈍角ネガコーン」。
以前のセクションで、一定の正の曲率密度の表面（球の一部）とポジコーンの一部を使用して、鈍角ポジコーンを構築しました。
同様に、我々が「鈍角ネガコーン」と呼ぶものを構築できます。馬の鞍を、共通の円形の縁に沿ってネガコーンの一部に結合する必要があります。接平面の連続性を保つために、馬の鞍に含まれる（負の）曲率は、ネガコーンの構築に使われる負の曲率と等しくなければなりません。
必要なネガコーンの部分を構築するのは比較的簡単です！(33)
注：ポジコーンと同じように、ネガコーンは印刷マトリクスとして使用できます。しかし、ネガコーンを平らな平面に巻く方法はほとんど見られません。したがって、平面を負の曲率マトリクスに巻くのがより簡単です。
ゲーテルベルクは印刷技術を発明しました。浮き彫りのデザインは平面に刻まれます。その後、インクを塗布し、平面に圧力をかけます。
その後、印刷マトリクスは新聞印刷用に円筒に変換され（回転印刷機）ました。
しかし、私が知る限り、誰もコニカルプレスを使用していません。
いずれにしても、重要なのは、方法に関係なく、2つの表面を接触させることです。マトリクスを動かすか、紙（平面）を巻くかです。
図(34)に示されているように、コニカルマトリクスを使用して平面に何かを印刷することができます。平らにしたコニカル新聞。(34)
誰もそれを将来的に使わないとは断定できません。あなたが、コニカル対称性に対応する特別なデザインの服を製造したいと仮定してください。そのような服を何千枚も製造しなければならないと仮定してください。あなたはコニカルマトリクスにデザインを彫刻し、それを布に印刷するために使用することができます。顧客はそれを購入し、「コニカルな」服を作成することができ、得られた模様がどこでも正しいことを確信できます。
図(35)に、負の曲率マトリクスで印刷した結果が示されています。右側には平らにしたネガコーンがあります。(35)
図(36)には、馬の鞍をネガコーンの一部に接続する方法が示されています。
その際、次のような質問をされるかもしれません：
- 私の馬の鞍に含まれる負の角曲率をどうやって測定できますか？
テキサス州の数学部の近くでは、馬の鞍を購入する際に、対応する角曲率が添付のチケットに記載されています。そうでない場合は、縁の円周や面積を、この負の曲率ディスクの半径から計算されたユークリッド値と比較することで、対応する角曲率を推定できます。これは有益な演習と考えてください。(36)
(37)
今、我々はテープを使用し、測地線を描き、図(38)に示されているように平面に投影することができます。
(38)
通常通り、この平面への投影は私たちの「精神世界」、プラトンの洞窟の壁を指します。投影された測地線の様子は、私たちにとって参照対象に反発力が働いていることを意味します。例えば、反発的な重力です。実際には、すべては下位の幾何学から導かれるべきです。
オリジナル版（英語）
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**Negacones.
**
Let us build now what we will call a "negacone". To build a posicone, we removed a sector from a plane. Here we add one, corresponding to an angle q :
(30)
On this surface we can draw geodesic lines, with our sticky tape and make a triangle with three of them. If you measure the sum of the angles, you will see that it is 180°-q . We will say that it defines a negative curvature concentration.
There are objects with negative curvature in your home. Some seats, for example : (30 bis)
If we take a disk we get the figure (31) :
(31)
Of course, if the triangle composed by the three geodesics does not contain the summit S, which contains all the (negative) angular curvature, the sum will be the euclidean sum : 180°.
The horse saddle.
** **You can build a great number of elementary negacones
with angle - Dq and join them. You can do that in order to have an almost constant distance between two neighbour summits. Then you would build a constant negative curvature density surface : a horse saddle. But this surface will never get closed.
In general the geometer call it a *constant negative curvature surface.
*(32)
"Blunt negacone".
In a precedent section, using a constant positive curvature density surface (a portion of a sphere) and a portion of posicone we built a blunt posicone.
Similarly we can build what we will call a blunt negacone. We have to join a horse saddle to a portion of negacone, along their common circular border. In order to manage the continuity of the tangent plane the (negative) curvature contained in the horse saddle must be equal to the negative curvature involved in the negacone building.
It is relatively easy to build the required portion of a negacone !
(33)
NB : As the posicone, the negacone can be used as a printing matrix. But we can hardly see how to roll a negacone on a flat plane. It is therefore easier to roll the plane on a negative curvature matrix.
Gutemberg invented the printing technique. A design in relief is carved on a plane. Then one puts ink on it and presses it onto a plane.
Later the printing matrix was converted into a cylinder, for newspaper printing (rotative press).
But no one, as far as I know, used the conical press.
In all cases, the important point is to put the two surface into contact, whatever one does. Either you move the matrix, or you roll the paper (the plane surface).
As shown on figure (34) you can use a conical matrix to print something on a plane. Some conical newspaper, put flat.
(34)
It is not definitively sure that nobody will use that, someday. Suppose you want to produce robes, with a special design, corresponding to conical symmetry. Suppose that you have to produce thousands of robes like that. You could engrave the native design on a conical matric, then use it to print on the material,or the fabric. The customer could buy it and make the "conical" robe, being sure that the obtained patter would be good, all over.
On figure (35) is what you get if you print with a negative curvature matrix. On the right a negacone put flat.
(35)
On figure (36) it shows how to join the horse saddle to the portion of negacone.
By the way, you may ask :
- How can I measure the negative angular curvature contained in my horse saddle ?
In some places in Texas, close to mathematical departments, when you buy a horse saddle the corresponding angular curvature is indicated on the joined ticket. If not when you compare the perimeter of the border, or the area,to the euclidean value, calculated from the radius of this regative curvature disk, you can deduce the corresponding angular curvature. Consider this as a fruitfull exercise.
(36)
(37)
Now we can use ou sticky tape, draw geodesics and project it on a plane, as shown on figure (38).
(38)
As usual this plane projection refers to our "mental world", the wall of Plato's cavern. The aspect of the projected geodesic would mean for us that some repulsive force is acting on our reference objects, for example a *repulsive gravitational force *. In fact, all that should come from underlying geometry.