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共役幾何学****
我々は今や、鈍角のポジコーンと鈍角のネガコーンを関連付けることができる。向かい合って：球面の一部と馬の鞍の一部で、角度の曲率は+qと-qで逆である。我々は点対点の対応（単射写像）を持っている。図（39）では、共役点のペアが示されている。
我々は「共役幾何学」として、点対点で関連付けられた2つの幾何構造を呼ぶ。ここで、局所的な曲率密度が逆である。これは球面の一部と対応する馬の鞍の一部の場合である。ポジコーンの一部とネガコーンの一部も同様である。その局所的な角度の曲率密度はゼロである。(39)
Fの折り目において、正の曲率は球面の一部に完全に含まれている。ポジコーンの一部は、ユークリッド面であり、「局所的に平ら」である。他の折り目F*、つまり共役折り目において、すべての（負の）角度の曲率は馬の鞍に含まれている。外部では、ネガコーンの一部は「局所的に平ら」であり、曲率を含んでいない。
与えられた折り目から、もう一方を構築できることが分かる。
一般相対性理論。
基本的な考えは、「物質-エネルギー」の局所的な内容が局所的な幾何学を決定し、時空の超曲面を形作るということである。複合語「物質-エネルギー」に注意されたい。これはあらゆる内容が宇宙の幾何学を決定することを示している：物質と放射。前節で、光子が（正の）曲率に寄与することを述べた。今日では宇宙背景放射の寄与は無視できるほど小さい。物質の幾何学への寄与が主である。しかし、遠い過去では状況が逆転していた：標準モデルにおいて、t < 500,000年。
一般相対性理論の基本的な概念を理解するために、教育的なモデルを検討しよう。定常状態のシステムについて考えよう。内部応力のない平面の表面を考える。局所的な応力を導入することで、その幾何学を変更できる。正または負の張力を導入する（応力テンソル）。例えば、プラスチックフィルムを加熱すると、凸の曲率効果（ブリスター）が生じる。
また、乾燥すると局所的な伸長を引き起こす物質を含ませることもできる（負の曲率効果）。
ボイラー職人は、金属表面を形作るために加熱と冷却をどのように使うかを知っている。例えば、事故を起こした缶の表面を形作る。
単純な金属チューブを取り上げよう。一方の側を加熱し、反対側を冷却するとどうなるだろうか？
(40)
応力によりチューブは曲がる。図（41）に示されている。
(41)
金属に応力を導入した。これは数学、材料強度、幾何学における「テンソル」という語の由来である。材料強度の専門家は「応力テンソル」と言う。幾何学者は「曲率テンソル」と呼ぶ。一般相対性理論の専門家は基本的な原則を適用する：
局所的な物質-エネルギーの内容 <-------> 局所的な幾何学
もちろん、この局所的な物質-エネルギーの内容は4次元の超曲面の局所的な幾何学を決定する。しかし、考え方は似ている。
これをどう書くか？数学では「テンソル」と呼ばれるものを用いる。
微分幾何学の完全なコースを開発しない限り、この方向に進むことは難しい。有名なアインシュタインの式は：(42)
**S **= c T
cは単純な定数（アインシュタイン定数と呼ばれる）である。これは次の2つの定数の値に依存する：
-
光速c。
-
重力定数G。
によって：
(42bis)
Sは幾何学的なテンソルであり、幾何学的特徴を担っている。
Tは別のテンソルであり、宇宙の局所的な内容を記述している。このテンソルには物質密度rと圧力pが含まれる。これらはエネルギー密度として表される。r c²はエネルギー密度である。
しかしpもまたエネルギー密度である。通常、圧力をパスカル毎平方メートルで表す。しかし、パスカル毎平方メートルはジュール毎立方メートルでもある。圧力は本質的に体積エネルギー密度である。場
r (x,y,z)とp (x,y,z)
は定常状態のシステムにおいて問題の入力となる。これらのスカラー場からテンソルTを構築できる。その後、次の質問になる：
- どの幾何学がこのようなテンソル場T (x,y,z)に該当し、式(42)を満たすのか？
宇宙の局所的な内容が与えられれば、理論家は時空の超曲面の局所的な幾何学を構築しなければならない。しかし、なぜなのか？
ここではもう一つの基本的な仮説が使われる：
- 私たちの宇宙を構成するすべての物体は、時空の超曲面の測地線に従う。
物体は星、惑星、原子、光子、素粒子などである。
粒子は場の式から来るのか？全くそうではない。一般相対性理論はそれらを完全に無視する。一般相対性理論の専門家にとって、宇宙は連続体であり、それ以上のものではない。入力関数rとpは宇宙のマクロ的な記述に対応する。出力も同様である：測地線系。一般相対性理論の理論家にとって、宇宙は超曲面であり、それ以上のものではない。彼は言う：
- あなたが私にr (x,y,z)とp (x,y,z)の関数を与えてくれた。私はあなたのために場の式に従う適切な超曲面を構築した。私はすべての可能な経路：測地線系を決定した。しかし、あなたのために粒子を構築することは完全に不可能である。ごめんね。他の部署に行ってください。
要するに、一般相対性理論と素粒子世界の間の橋はまだ建設されていない。
しかし天文学者は言う：
- どうでもいい。光子はこの超曲面の特異な測地線に従うとされている。これは機能する：光学機器で現象を観測できる。惑星も別の種類の測地線に従うとされている。これも機能する。私はそれらの軌道を計算し、水星の近日点の進歩を予測できる。重力レンズ効果もある。
彼は正しい。
この重力効果について少し述べる。まず、この鈍角の円錐の画像は単なる教育的な画像である。例えば、星の周りを回る惑星の円形の軌道を説明することはできない：(43)
これは教育的画像の限界を示しているに過ぎない。しかし、この例を用いて重力レンズ効果を2つの測地線で説明できる。
(44)
下に、空間のユークリッド的な心象図がある。蜃気楼効果がある。一つの物体ではなく、観測者は二つの「重力的蜃気楼」を見ている。