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特異点の問題
球面上では、どの座標系を選んでも特異点（例えば、2つの極特異点）を避けられない：
(50)
一つの「極特異点」で球面をマッピングすることが可能であることに注意してください。この最初の平面群のすべてが同じ直線を通るように、球面を切断してください：
(51)
次に、球面と交差する第二の平面群を導入してください。
(52)
この局所的な問題のある領域を除けば、他の場所には問題はありません。球面の反対側から見ると、次のようになります：
(53)
しかし、S点ではaとbの値は単に定義されていません！
しかし、球面は基本的に滑らかな表面です。手で卵を回してみてください：どの特別な点や固有の特異点も見つからないでしょう。
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結論：これらの特異点は座標系の選択に起因する人工的なものである。
これらの極特異点は「現実的」ではなく、固有の特異点でもありません。座標系を選択した後、任意の点（または2点）が特異点になります。球面のマッピングにおける2つの特異点、つまり北極と南極は、座標系の選択によって生じる完全に人工的なものであり、アーティファクトです。