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逆に、表面には実際の固有特異点が存在する。これらは真の幾何学的特異点である：
(55)
(56)
(57)
などである。
また、折り目は表面の特別な領域であり、線形曲率が集中している。図(57)の左側では負の線形曲率、右側では正の線形曲率がある。
各サブ図では、2つの球面の断片を使用している。全体のオブジェクトは球面と同じ位相を持つため、その全角曲率は$4\pi$である。
左側のオブジェクトが2つの球面の断片から構成され、それぞれに$3\pi$の角曲率があると仮定する：
$$
3\pi + 3\pi = 6\pi
$$
これは多すぎる。したがって、最終的に必要な値$4\pi$を得るために、(負の)線形曲率がそれを相殺しなければならない：
結論として、この折り目には次の負の曲率が含まれる：
$$
-2\pi
$$
この曲率は、折り目の円弧に沿って均等に分布している。
図(57)に戻る。三角形は測地線で構成されているが、テープ（狭いもの）で折り目を通過しても問題ない。三角形の3つの角の和を計算し、予測する方法は知っている。三角形の面積を球面の面積と比較すればよい。曲率の過剰分は：
$$
\text{(58)}
$$
しかし、折り目の部分、つまり弧$mn$に含まれる曲率（正または負）も考慮しなければならない。その値は：
$$
\text{(59)}
$$
図(57)の右側にあるようなレンズが、それぞれ$\pi$の角曲率を含む2つの球面の断片から構成されていると仮定する。この場合、折り目を無視すれば、この2つの球面の断片は$2\pi$の角曲率を持つ。しかし、このレンズは球形の位相を持つため、角曲率の寄与は$2\pi$でなければならない。したがって：
$$
2\pi + 2\pi = 4\pi \quad \text{(球の全曲率)}
$$
この3本の測地線で構成された不思議な三角形の角の和も予測できる。弧$mn$には次の線形角曲率が含まれる：
$$
\text{(60)}
$$
三角形内で折り目に含まれる角曲率の量を測定すると、ユークリッドの和$\pi$からのずれを評価できる。
こうして、表面における曲率の問題は比較的簡単に扱えることがわかる。
表面には錐状の点や折り目の線を持つことができる。これらは固有特異点であり、座標系の選択に起因する人工的な特異点ではない。折り目を滑らかにすると、アーモンドのような形になることに注意する：
$$
\text{(61)}
$$
これは、錐の一点の頂点（集中した角曲率）を滑らかにすることに似ており、オブジェクトが丸みを帯びた錐（角曲率が球面の一部に分布している）になる。
図(61)の上部に示された2つの球面の断片がそれぞれ球の$2/3$を表し、曲率が：
$$
\text{(62)}
$$
「アーモンド」の灰色部分には負の曲率が含まれており、正確には：
$$
\text{(63)}
$$