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代表空間。
我々は前節で、円筒が平らにできるということを見た。では、紙の一枚、平らな面を取ってみよう。これはユークリッド空間である。ここに測地線を描くことができる。ではこれを折りたたんでみる。(64)
もし、この折りたたまれた表面を剛体にし、テープを使って測地線を描くことができたなら、また同じシステムが得られるだろう！表面は実際には変化していない。もし、ある住民がこのような「平らな土地」に住んでいたとしても、折りたたみのプロセスに気づくことはないかもしれない。彼にとってすべては普通のままである。今日のようだ。例えば、彼の2次元の時空表面の測地線に従うのである。
紙を折りたたむことは、単に代表システムを変更したに過ぎない。つまり、2次元の表面が3次元のユークリッド空間に埋め込まれる仕方を変更したに過ぎない。
より単純な変更は、平らな金属の板を波形の表面に変えることである。図(65)を参照。(65)
何年前か、エチオピアのアディスアベバで大きな市場にいた。そこで金属は珍しく、若い男たちが単純なハンマーを使って波形の鉄板を平らな板に変える工場が見られた。もし彼らのうち誰かが作業の前に測地線を描いていたなら、測地線のシステムが変化していないことが分かったはずである。
しかし、正直に言って、この種の人々が数学的に測地線とは何かを知っているとは思えない。もちろん、どんな人が籠をつくるときも自然に測地線を使っている。
私はかつて、バーリントンとチャムプラン湖の近くのバカンスキャンプで籠編みの講師をしていた。それは何年前のことだろうか。
幾何学的対象は、それがどのように高次元空間に表されるかとは無関係に、独自の存在と性質を持っていることを忘れないでほしい。折りたたまれていようが、それともいなかろうが、紙は紙であり、つまりユークリッド空間である。
我々は4次元の超面に住んでいるとされている。我々はみな、基本的に同じように生きている。しかし、私の妻クレアは非常に魅力的な人物で、私はより多くの次元の空間に住んでいる（彼女は5次元だと言っている）と信じ込んでいる。これは、私が個人的な5次元にいるとき、しばしばコミュニケーションの困難をもたらす。
しかし、女性たちは本当に4次元の超面に住んでいるのだろうか？時折疑問に思うが、それは別の話である。
あなたが4次元の超面に住んでいて、その時空の測地線をたどっていると仮定してみよう。それは、牛が耕しの跡をたどるように、たどっているのと同じである。
では、あなたが神であると仮定してみよう。あなたはこの4次元の超面の完全な表現を望んでいる。それには少なくとも1つの追加の次元が必要である。個人的には、もし神が存在するなら、彼は10次元の超世界に住んでいるはずだと考えている。後の議論は、幾何学的物理学Bで詳しく説明され、群論の理論から来ている。
神は群構造を持っているのか？
実際には、一般相対性理論の専門家は、場の式（アインシュタインの解）の解を計算する。その後、測地線系を調べる。これらは「4次元の直線」である。時空では、測地線に従うと、一般的な順序は：
- 直進せよ！左にも右にも曲がってはいけない。
あなたはただ従うだけである。なぜなら、他のことはできないからである。時空では曲がることは無意味である。すべて、すべてのものが「直進」している。
しかし、物事、軌道、経路は、私たちの3次元の目には曲がって見える。私たちはそれを「私たちの頭の中の空間の表現」で読んでいる。私たちはプラトンの洞窟の壁に向かい、踊る3次元の影を見ている。
私たちの2次元の教科書的な図、つまり鈍い円錐に戻ろう。これは、質量の集中（灰色領域）の近くの空間を表すものである。我々はそれが定常状態に対応していると仮定している。
我々は、球座標（r、θ、φ）を空間の目盛りとして使うことができる（3次元で）。2次元では、2つだけである：（r、θ）。
その後、図を平面に投影し、同じ極座標系を使うことができる。次の図を参照。
（66）
上記のように、鈍い円錐の表面は、粗い教科書的なモデルであり、1917年にシュヴァルツシルトによって構築されたアインシュタイン場方程式の特別な解を示している。
（67）S = c T
これは、見事で巧みな仕事である。当時、アインシュタインが孤独な天才で、無人島に閉じ込められていたとは誰も思っていなかった。多くの人々は、ドイツの偉大な数学者ヒルベルトが「アインシュタイン方程式」を発明したと考えている。他の人々は、アインシュタイン夫人が特殊相対性理論の構築に効果的に貢献したかもしれないと考えている。これは、ポアンカレやローレンツの研究から自然に導かれるものである（アインシュタインの研究を調べれば、彼が他の人々をほとんど言及しないことが分かる）。
シュヴァルツシルトの解は、一般相対性理論の画期的なものである。この解は、太陽の周りの惑星の相対論的軌道を計算し、水星の近日点の進動を明らかにするために使われる。
誰もがすぐに言うだろう：
- なぜシュヴァルツシルト自身がそれを計算しなかったのか？
それには非常に良い理由があった。彼は死んでいたからである。
シュヴァルツシルトは愛国者であり、1917年に前線に赴くことを強く望んだ。そこでガスでやられ、後に亡くなった。アインシュタインは仕事を続け、それが「アインシュタイン理論」となった。
これは定常状態の解であった。その後、アインシュタインは、曲率がエネルギー-物質密度と同一視できる宇宙のモデルを構築しようと試みた。しかし、当時は宇宙が定常状態でないことを誰も知らなかった。アインシュタインは定常状態のモデルを構築しようと試みたが、うまくいかなかった。その後、フランスの偉大な数学者エリ・カタンに会い、場方程式に定数を追加するよう勧められた。アインシュタインはそれに従った。
その後、ロシアのグライダー飛行士フリードマンが非定常解を発見した。同じ頃、エドウィン・ハッブルが赤方偏移と宇宙の非定常性を発見した。アインシュタインは非常にがっかりし、次のように言った：
- もし宇宙が定常状態でないことを知っていたら、フリードマンより前に解を見つけていただろう！
これは、ラコドネイアンが昔言ったことである。
しかし、この物語はそこで終わらなかった。最初、フリードマンは循環解を構築した。これは「フリードマンモデル」の3つのうちの1つである。
アインシュタインは数年間沈黙した。フリードマンの死後に、彼は「アインシュタイン-デ・シッターのモデル」、つまり「フリードマンの放物型解」を発表した。
その後、若いポーランド人研究者カールザが「アインシュタイン教授」に論文を提出したが、1年以上にわたって掲載を拒否された。カールザはアインシュタインに抗議したが、アインシュタインは次のように返した：
- あなたはこの理論をもっとよく見なさい。私は疑っている。
何年も後、カールザのアイデア（時空に5次元を追加する）は、高度な研究（スーパーストリングのアプローチを含む）の出発点となった。幾何学的物理学Bを参照。
アインシュタインはそれほどスポーツマンではなかったようだ。
定常状態の3次元モデルに戻ろう。これは太陽の周りの時空幾何学に対応している。計算により、測地線は平面に位置する。曲率効果が緩やかで、光速cに比べて速度が小さい場合、代表的なユークリッド時空に投影すると、準ケプラー軌道とケプラーの法則に似た軌道になる。時間は無視し、極座標を使ってこれらの測地線を平面に描くことができる。
r = f (θ)。
シュヴァルツシルトの解では、実際には2つの関連する「メトリック解」があり、図(68)に示されている。「質量体」の内部では、質量密度ρは一定と仮定されている。その場所ではエネルギー-物質テンソルTはゼロではない。しかし、外部ではρとTはゼロである。
（68）
これは複合的な幾何学である。3次元では、質量密度は「質量集中」の表面（仮定的に球形）で急激に不連続になる。これは、灰色領域内で非ゼロで、外部ではゼロである角曲率密度の不連続性に似ている。境界はS1球面、つまり…円になる。
4次元では、測地線の連続性を保つために数学的な関係を構築することができる。これは、球の一部やポジコンの一部の結合部分に似ている。
質量が大きくなる（これは私たちの粗い2次元の教科書的なモデルでは説明できない）と、閉じた軌道はもはや楕円ではなくなる。
図（69）を参照。この図は中性子星の周りを回る宇宙船の軌道を示している。
水星の太陽の周りの軌道はこれに似ているが、楕円軌道の近日点の進動は1世紀あたり0.15度である。
（69）
いつか、この問題を遊べる式とプログラムを含める予定である。それほど難しくはない。
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