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幾何的文脈****
球は2次元の幾何的オブジェクトです。その上にある点を特定するには、2つの量、2つの数、2つのスカラーが必要です。
球はトポロジーを持つ表面です。そのトポロジーはトーラスのそれとは異なります。
両方とも測地線系を持っています。以前のセクションで述べたように、球面上の2つの異なる点M1とM2とそれらを結ぶ曲線を想像できます。その特定の経路に沿って長さを測定できます。これは座標変換に対して不変な量です。S²の球は3次元の代表空間とは独立して存在します。しかし、私たちが住んでいる慣れた3次元のユークリッド空間に描くことができます。その場合、この球に中心を割り当て、すべての点をその中心に接続できます。図(116)を参照してください。各点は2つの角度qとjに対応します。
(116)
球に穴を開け、Oが中心でMが球面上の点であるベクトルOMを示しました。
ここで、図(117)ではベクトルを保持し、球を忘れました。
(117)
これらの半直線は無限ですが、私たちが描いたのは、球の半径Rに相当する長さで切られたものです。それぞれの直線は( q , j )のペアに対応します。メトリック構造は消えました。測地線も長さもありません。何が残っているのでしょうか？
これらの半直線は隣接するものを持ち、それらがその近傍を形成します。それぞれの半直線は、図(118)に示すように、多数の円錐に囲まれていると想像できます。
(118)
どの直線の周囲にも、望むだけの円錐を配置できます。これらの円錐の間には常に別の円錐を挿入できます。これは直感的に「微分可能性」の概念を示しています。このような幾何的オブジェクトには不連続性がありません。
では、球を忘れ、平らな表面を考えましょう。これは点の集合です。どの座標系を選んでも、(x, y)、(r, q)など、2つの量で点を定義できます。
実数のペアです。これらは実数の集合R²から選ばれ、例えば(3,8705, -17,56)のように表されます。
任意の実数のペア(x; y)は無限の近傍(x + Dx; y + Dy)を持っています。
このような「前メトリック」のオブジェクトは、数学者によって「多様体」と呼ばれます。
このような「柔らかい」空間を想像するのは結構難しいです。図(119)では、メトリックの性質を持つ剛体な平面表面を描き、その下にはその点の影を示しています。
(119)
影には固有の形や広がりがありません。それはスクリーンや光線の生成に依存します。図(120)では、影が物体に対して相対的であることを示しています。
(120)
これらの「平行線」は、球面上の点をその中心に結ぶために導入した光線に似ています。ここでは、平面の点が無限遠に位置する「光源」に「結ばれています」。
最後の直線の考えをあきらめましょう。調理されたスパゲッティの束（もし調理されていなければ、それは剛体で割れやすいでしょう）を考えます。それらを曲げることができます。しかし、スパゲッティは一緒に結合されたままにしなければなりません。その近傍は変更されてはなりません。
(121)
これは非常に粗雑で、完全には厳密ではありません。私は読者に多様体、つまりメトリックのない幾何的オブジェクトが何であるかを示唆したいだけです。その主な特徴は、どの点にも隣接点があるということです。
多様体は点の集合mです。私は、多様体の各点に、実際の表面に属する点(M1, M2)のペアを関連付けることができると想像できます。それらの表面にはメトリックの性質、長さなどが含まれます。
私はn次元の多様体を「スケルトン多様体」と呼び、それに関連するn次元の表面を単に「折り目」と呼びます。その後、私は「多様体の2重折り目」を構築します。
図(122)には、2次元の多様体m2の2重折り目が示されています。
(122)
図(122)では、同一で平行なユークリッドの折り目（平面）を描き、同じメトリックを持っています。しかし、図(123)を構築することもできます：
MとMを共役点と呼びます。「スケルトン多様体」からこれらの2つの折り目を構築することは明確な意味を持ちます。折り目F上の任意の点Mに対して、1つだけの共役点Mを関連付けることができます。点対点の写像があります。それゆえ、スケルトン多様体を忘れることができます。
折り目F上の任意の点の近傍は、その共役点Mの近傍に対応します。図(124)を参照してください。これは、F上の任意の正則領域がFに属する正則な共役領域に対応することを意味します。
(124)
これは特に、共役点MとM*が同じ座標の集合によって記述されることを示しています。