a123
| 24 |
|---|
共役曲率****
3次元空間、局所的な正の曲率または負の曲率を持つ空間をどう理解するのか？
まず2次元の面を考える。球面を考えて、図(125)に示すように、その上の任意の点に釘を打つ。長さLの紐を釘と鉛筆に結びつける。これを使って円、つまり球面の並行線を描くことができる。球面の並行線とは、与えられた点Sから同じ距離Lにある点の集合である。
図(125)に示すように、以下の操作も同様に行える。
- 馬の鞍
- 平面
(125)
平面では、円周は2πLであり、円の面積はπL²である。
一方、球面では、円周と円の面積は小さくなる。逆に、馬の鞍では、それらは大きくなる。
球面とその赤道に相当する並行線を考えてみよう。図(126)を参照。数値は図(126)に従う。
(126)
円の面積は、球面の対応する（灰色）部分の3.875倍である。その円周は、赤道の長さの1.57倍である。
同様のテストにより、馬の鞍の負の曲率が示される。もし、馬の鞍上に与えられた点から距離Lの点の集合である閉曲線を描けば、この負の曲率を持つ円盤の面積は、平らな円盤の面積πL²よりも大きい。同様に、負の曲率を持つ円盤の円周は、平らな円盤の円周2πLよりも大きい。
幾何学は盲目のための学問である。幾何学者は、与えられた空間の住民が自らの空間の幾何的性質を発見できるようなテストを設計しようとする。以前の図から、2次元の面の住民は、外部からその面を見ることができない（彼らはその中に住んでいるため）が、面積と長さの測定により、彼らが住んでいる領域が局所的な正の曲率、局所的な負の曲率、または局所的なゼロ曲率（ユークリッド空間）を持っているかどうかを発見できる。
局所的な曲率が正、ゼロ、または負であるような面が存在することに注意する。例としてトーラスがある。
(126ter)
同様の方法は3次元空間にも適用できる。どこにでも点Oを選び、紐（「鉛筆」）を使って、考えている点から距離Lの点の集合を描く。これにより、球面が得られ、その面積を測定できる。もし、この表面が3次元のユークリッド空間に構築されたものであれば、その面積は4πL²となる。
もし、この面積が小さければ、その3次元空間はユークリッド空間ではないことを意味する。これは正の曲率を持つリーマンの3次元空間である。体積を測定すれば、それが(127)よりも小さいことがわかる。
負の曲率を持つ3次元空間の場合、状況は逆になる。固定点Oから距離Lの点の集合として考えられる球面の面積は、4πL²よりも大きくなる。その閉じた表面内の体積は(127)よりも大きくなる。
宇宙論は単純な3次元空間ではなく、4次元の超曲面（「双曲的」な符号を持つ）に基づいているため、この説明は限られている。これを粗い教育的モデルとして考えるべきである。
n次元空間のリーマンのスカラー曲率はやや異なる。
現在の宇宙モデルにおいて、共役点（M、M）における局所的なリーマンスカラー曲率は逆であると仮定する：
*(127bis)
R* = - R
専門家は論文でより詳細を確認できる：
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost matter astrophysics. 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A, 5, 1998年3月.
次に、図39に対応する有用な2次元教育的画像。
(128)
上：なめらかなポジコン（posicone）。ポジコンの一部では局所的な（角度的な）曲率がゼロである。球面の（灰色）一部では一定の正の（角度的な）曲率密度を持つ。
下：なめらかなネガコン（negacone）。ネガコンの一部（馬の鞍を囲む部分）では局所的な（角度的な）曲率密度がゼロである。馬の鞍の一部（球面の一部に向かう部分）では一定の負の（角度的な）曲率密度を持つ。
曲率は共役である。ポジコンとネガコンの局所的なゼロ曲率部分が、点対点の対応で向かい合っている。
点対点の対応で、一定の正の曲率を持つ表面（球面の一部）と負の曲率を持つ表面（馬の鞍）が向かい合っている。曲率密度は等しく逆である。円形の端は点対点で接続されている。
これは我々の宇宙モデルの教育的画像である。より詳細な数学的説明は以下の論文を参照：
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost-matter astrophysics. 1. The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4, 1998年3月。