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幽霊物質によって誘導される幾何学。****
前節では、定常密度Mを持つ正の質量が折り畳みFに存在する場合の共役幾何学を研究しました。ここでは、定常密度r* > 0を持つ正の質量M*>0が折り畳みF*に存在すると仮定します。この宇宙のこの部分では、Fの共役領域は空であると仮定します。
すると、Tは折り畳みFの非空部分のエネルギー・物質内容を表します。対応する場の式は次の通りです：
S = - c T*
S* =** *c T
これらの幾何学は単純に交換されます：
(135)
図(135)を見てみると、折り畳みFに存在する質量Mが幽霊質量を引き寄せ、この双子の折り畳みの測地線をたどり、通常の質量を反発し、折り畳みFの測地線をたどる様子がわかります。
図(135)を見てみると、折り畳みFがその折り畳みFに存在する幽霊質量Mによって誘導される幾何学を持つことがわかります。
相互作用の法則。
(128)と(135)から、次の相互作用の法則が導かれます：
- 物質は物質を引き寄せる
- 幽霊物質は幽霊物質を引き寄せる。
- 物質と幽霊物質は互いに反発する。
参照：
J.P.Petit & P.Midy : 幽霊物質-物質の天体物理学。1.幾何学的枠組み。物質時代とニュートン近似。幾何学的物理学A , 4 , 1998年3月。
この論文では、さらに相互作用力がニュートン的であることも示しています。
この点は、J.M.Souriauが提案したスキーマとは異なります。彼のスキーマでは、2番目の種類の2つの粒子は互いに反発します。
私たちのスキーマでは、すべての質量mとm*が正であることがわかります。しかし、誘導される幾何学の現象により、局所的な負の曲率を生じることができ、これは古典的一般相対性理論では禁止されていました。
要するに、次の場の式を書くことができます：
(136) **S = *c (T - T)
(137) S* =** *c (T - T) ** ** これにより逆のスカラー・リーマン曲率が得られます：
(138)
R = - R* ****
折り畳みFで局所的な曲率が正であれば、それは次のことを意味します：
(139) T > T*
または：
r > r *
この場合、F*の隣接部分では共役曲率が負になります。
逆に、折り畳みFで局所的な曲率が負であれば、それは次のことを意味します：
(140) T < T*
または： r < r *
この場合、折り畳みF*では正になります。
折り畳みFで局所的な曲率がゼロであれば、それは折り畳みF*の隣接部分でも曲率がゼロであることを意味します。
さらに、T = T* = 0 または： r = r * = 0 T = T* ( r = r *)
古典的一般相対性理論の検証について。
物質と幽霊物質は互いに反発します。銀河は物質の集まりです。したがって、双子空間Fの隣接部分は非常に希薄になり、mの質量が押しのけられました。太陽の近くでは、幽霊物質の密度（r* または T*）は無視できるほどです。この場合、場の式は次のようになります：
(141)
(141 bis )
(141)はアインシュタイン方程式であり、これにより一般相対性理論のすべてのローカルな古典的検証が構築されます。 アインシュタイン方程式は、幽霊物質の密度がゼロに近づくときの極限ケースとなります。