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この幾何学に捧げられた第一部分の結論。
幾何学的物理Bと群論について一言。
( 群論の要素は、物理に応用されており、物理Bのサブサイト「物理におけるダイナミック群」の冒頭に記載されている。 )
我々は新しい幾何学的概念を導入した。
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アンドレイ・サハロフのアイデアにインスピレーションを受けた「双子の幾何学」：一つの宇宙ではなく、二つの宇宙が存在し、アンドレイ・サハロフは1967年にこれを「双子の宇宙」と呼んだ。
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これらの二つの宇宙は遠く離れた場所に存在するのではなく、「同じ場所」に存在する。私たちはチェックボードの（単純な）教育的イメージを提示した。一つは黒いマスで、もう一つは白いマスで遊ばれている。
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この教育的イメージは、より洗練された幾何学的構造を示しており、全体として宇宙は二つの異なる（しかし相互作用する）折り畳みから構成されている。これらの折り畳みは4次元の超表面であり、「スケルトン多様体の二重被覆」と見なすことができる。
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一般相対性理論と同様に、粒子はそれぞれの超表面の測地線をたどると仮定している。そのうちの一つは我々の時空であり、もう一つは双子の時空である。
一見して、それぞれの折り畳みに沿って進化する三つの種類の粒子が仮定されている。それは、概略的に以下の通りである：
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物質
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反物質
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光子
したがって、第二の折り畳み、第二の宇宙、つまり「幽霊の折り畳み」や「幽霊の宇宙」と呼ぶこともできるが、そこには以下のようなものがある：
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幽霊物質
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幽霊反物質
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幽霊光子
（すべては「幾何学的物理B：物理におけるダイナミック群」に詳しく説明されている。）
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二つの折り畳みは別々であり、それらの測地線も別々である。したがって、我々の折り畳みFの測地線上を移動する光子は、幽霊の宇宙、幽霊の折り畳みFに属する「幽霊測地線」にジャンプして進むことはできない。結論として、我々の折り畳みに存在する物質（または反物質）から放出された光は、他の宇宙に到達できず、幽霊粒子によって受信されることもない。もしFの折り畳みに生き物が存在していたとしても、我々の星や銀河、我々の折り畳みにあるあらゆるものを、純粋な幾何学的根拠に基づいて見ることはできない。
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逆に、幽霊の光子は、幽霊の折り畳みF*（または幽霊の宇宙）に存在する幽霊物質（または幽霊反物質）の粒子から放出され、その折り畳みの測地線をたどるが、他の折り畳み、つまり我々の折り畳みにジャンプすることはできない。したがって、我々の宇宙に存在する質量を持つ粒子によって受信されたり捕らえられることもない。結論として、双子の宇宙、または影の宇宙、または幽霊の宇宙、どんな名前をつけても、我々にとって基本的には見えない。もし第二の宇宙にどんな構造が存在しても、光学的に観測することはできない。同じ理由、純粋な幾何学的根拠に基づいて。
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この考えは、超弦理論の提唱された考えに近い。超弦理論の研究者たちは、現在、二つの世界が存在し、重力場を通じてのみ通信できると確信している。
ウィッテン（フィールズ賞受賞者）、ダフ、グリーン・シュワルツ、ノーベル賞受賞者アブドゥス・サラムなど。
マイケル・ダフの最近の論文を参照：『新しい超弦理論』、『サイエンティフィック・アメリカン』に掲載、フランス語訳（『Pour la Science』、1998年4月）。
ダフは、物質を「壁に」、別の「平行な壁に」不可視の物質を想像している。
二つの宇宙、二つの存在がお互いに見ることができず、重力の力のみで通信できるという考えは、初期にはグリーン、シュワルツ、およびノーベル賞受賞者アブドゥス・サラムによって提唱された。
一般的な考えは、次元の数を拡張することである。古典的な物理では、この数は4つ（x、y、z、t）であり、時空を表す。現代の理論物理は、この数を一般的に10に拡張しようとしている。
すべては群論と対称性に依存する。対称性は、2次元または3次元空間の一般的な対称性、例えば：
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点対称
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平面対称
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直線対称
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または回転対称（周期的な物体、結晶）
のようなものに限られない。
移動によって変化しない物体はこの「対称性の種類」を持つ。
時間に関する対称性も存在する。質量点Mから距離rの位置にテスト粒子がある場合を考えてみよう。
重力定数をGとすると、ニュートン力学では次の微分方程式に従う：
（142）
これは特別な解を持つ：
（143）
この最後の解は時間的に逆転可能である。私たちは時間対称性、T対称性を得る。
粒子には固有の対称性がある。これを「物事」を支配する群を構築する上で強い制約と見なすことができる。
現在、超弦理論の研究者たちは壁にぶち当たっている。彼らのツールボックスにはあまりにも多くの可能性があり、理論ではなく、理論たちという表現を使っている。多くの研究者は「何百万もの理論の中から...」と述べている。
私の同僚ピエール・ミディとともに、私たちは群の「コアドイン作用」を用いることで、別のアプローチでこの問題に取り組んだ。ジャン＝マルク・ソリアーの本を参照：
「構造のダイナミカルシステム」、Birkhauser、1997年。
（「幾何学的物理B、物理におけるダイナミック群」も参照。）このツールを用いることで、陽子、中性子、電子、光子、ニュートリノおよびそれらの反粒子のような基本粒子を幾何学的に表現することが可能となった。しかし、クォークのようなより深い構造については扱っていない。我々の論文を参照：
J.P. PetitとP. Midy: 「群のコアドイン作用による物質と反物質の幾何化。1: 群が10次元空間上で作用するときの運動量の追加スカラー成分としての電荷。反物質の幾何的定義。」『幾何学的物理B』、1、1998年。
この論文には反物質の幾何的定義が含まれている。
簡単に言うと、古典的な時空 {x, y, z, t} に加えて、6つの追加次元を導入する：
{z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆}
これらのスカラーはベクトル z に結びつけることができる。同様に、時空ベクトルを定義することができる：
（144）
粒子は10次元空間に「存在」するものと考えられる：
（145）
（146）
または単純に：z → - z
これは以下を意味する：
z₁ → -z₁
z₂ → -z₂
z₃ → -z₃
z₄ → -z₄
z₅ → -z₅
z₆ → -z₆
すべての追加次元が逆転する。
追加次元の導入はダイナミック群を変化させる。ソリアーの本、Birkhauser版1997年を参照。
非量子的相対論的物理では、ダイナミック群はポアンカレ群である。これは1964年にソリアーによって、量子世界に拡張され、5番目の次元zが導入された。さらに、コスタンツ・キリロフ・ソリアーの方法により、ポアンカレ群の「中心拡張」からクライン＝ゴルドン方程式が構築可能となり、新しいダイナミック群が得られる。
我々は拡張された一般化されたポアンカレ群（「ピエット群」）を取り扱い、その運動量空間におけるコアドイン作用により、以下の6つの古典的な量子数が得られる：
q：電気的電荷
cB：バリオン数
cL：レプトン数
cm：ミューオン数
ct：タウオン数
v：磁気回転定数。
粒子は以下のように定義される：
{ q, cB, cL, cm, ct, v, E, px, py, pz, s }
Eはそのエネルギー
{ px, py, pz }はその運動量ベクトル
sはそのスピン。
例えば、電子は以下のようになる：
q：電気的電荷 = -1
cB：バリオン数 = 0
cL：レプトン数 = 1
cm：ミューオン数 = 0
ct：タウオン数 = 0
v：磁気回転定数 = ve
s = 1/2
そして陽子の反粒子（反陽子）は：
q：電気的電荷 = -1
cB：バリオン数 = -1
cL：レプトン数 = 1
cm：ミューオン数 = 0
ct：タウオン数 = 0
v：磁気回転定数 = -ve
s = 1/2
光子は：
q：電気的電荷 = 0
cB：バリオン数 = 0
cL：レプトン数 = 0
cm：ミューオン数 = 0
ct：タウオン数 = 0
v：磁気回転定数 = 0
s = 1
ディラックの反物質理論では、すべての電荷が逆転する（電気的電荷も含む）。
光子のすべての電荷がゼロであるため、これは光子が自身の反粒子である理由を説明する。なぜなら：
- 0 = + 0
この方法により、通常の基本粒子（素粒子）の最初の幾何化が可能となる。この説明は核の成分に限定されている。