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測地線。
...以下では2次元曲面を扱う。ところで、なぜ曲面は2次元の対象なのか？それは、その上の点を特定するのに2つのパラメータが必要だからだ。例：地球上の経度と緯度。
...これらは頭より手で理解したほうがよいものだ。このテキストを読み始める前に、いくつか見つけてみてほしい。必要なものは：
- 丈夫でしなやかな紙。
- 色付きの粘着テープ。
- はさみ
...以下では、この種の色付き粘着テープで一定幅の帯を作ることができる。
(6)
...任意の曲面、たとえばあなたの車の車体を取る。しわを慎重に避けながら、粘着テープの帯をそれに貼ることができる。すると、この曲面の測地線が得られる。あなたの車の車体上には無限に存在する。
平らな皿の上でもできる。すると「あなたの平面の直線」が得られる。
「直線」とは、平面の上のもの、すなわち特殊な測地線にすぎない。
(7)
3本の測地線で、この「ユークリッド曲面」上に三角形を作る。すると3つの角の和は180°になる。
ポジコーン。
...さて、「ポジコーン」、ある種の「正の錐」を作ろう。紙を1枚、平らな面を取り、はさみで扇形を切り取る。次に、次の図に示すように、線SAとSBを合わせる。
(8)
...さて、粘着テープで、図(9)に示すように、その曲面上に3本の測地線を描く。3つの角の和を測ることができ、2つの場合が見つかる：
三角形がこのポジコーンの頂点Sを含まないなら、和は依然として180°である。
それが頂点を含むなら、その周りにどのように配置されていても、小さくても大きくても、和は：180° + q である。
(9)
理解するには、ポジコーンを切って平らに置けばよい。すると角度qがはっきりと現れる。
(10)
...2本の直線AHと、したがって直線SHとSH'がqに等しい角をなすことを容易に確認できる。
...錐は、頂点を含む線に沿って切った後、平らに置くことができる曲面である。フランス語では「développable」曲面と言うが、辞書で英語の単語が見つからない。円柱も同じである。
(11)
...粘着テープの帯で、円柱上に測地線を描くことができる。しかし、切り込みを入れて円柱を平らにすると、あなたの測地線は...直線になる。
そのような曲面（錐、円柱）を平面上で転がすこともできる。次の図。
(12)
...インクで錐や円柱の上に測地線を描き、それを印刷の版として使って平面上で転がすことができる。すると、あなたの平面上に直線が印刷される。
...逆に、平面上に直線を描き、インクが乾く前に錐や円柱をその上で転がすと、それらの上に測地線が印刷される。
