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(正の)曲率。

粘着テープを使って平面上に三角形を描くと、角の値の合計は180°になる。これはユークリッド面である。ここには曲率が含まれていないと言うことにする。それは本当に平坦な面である。私たちの三角形の角の合計はユークリッド的な合計である。三角形を私たちの円錐、つまり「ポジコーン」の上に描き、頂点Sがその外側にあるとき、合計はやはり180°であった。逆に、頂点が内側にあるとき、合計は180°に角度qを加えたものになった(qは私たちがポジコーンを作るために設けた切り込みである。図(8)参照)。

この頂点は面の特異点であり、円錐的な点であり、そこにはいくらかの(正の)集中した曲率が含まれていると言うことにする。それは集中した(正の)曲率点である。

今度は、角度q1とq2に対応する2つの切り込みを設けることができる。図(13)参照。すると、2つの円錐点S1とS2を持つ奇妙な面が得られる。図(14)参照。

(13)

(14)

今度は、さまざまな場合に対応して、好きなだけ測地線三角形を描くことができる。

• それらが円錐頂点を含まないなら、角の合計は180°である。

• それらが頂点S1を含むなら、合計は180°にq1を加えたものになる。

• それらが2つの頂点q1とq2を含むなら、合計は180° + q1 + q2になる。

(15)

ここで、図(16)に示すように、多数の微小なポジコーンを作り、それらを貼り合わせることができると想像してみよう。各微小ポジコーンは微小角Dqに対応する。これらのミニ円錐を規則的な方法で配置することができる。つまり、ある頂点と隣接するミニ円錐の頂点との間の距離が、どこでもほぼ一定になるようにである。

(16)

もしあなたのミニ円錐がどんどん小さくなり、それらに関連する微小角Dqも同様に小さくなれば、一定の曲率密度を持つ規則的な面の一部を構築することになる。

球は一定の局所曲率密度を持つ面である。より簡単に言えば、球は一定曲率面であると言われる。

ミニ円錐を別の方法で配置すれば、可変局所曲率密度面を構築することができる。例えば卵である。鶏の卵は可変局所曲率密度面である。しかしピンポン球は一定曲率密度面である。だからこそ鶏は自分の卵を認識し、ピンポン球と区別するのである。鶏は粘着テープで測地線を描く、などなど……

実際には、鶏は物体の上に物理的に測地線を描くのではない。それを頭の中で行うのである。

(17)

一般相対性理論では、質量密度rを局所曲率と同一視する。

もちろん、一般相対性理論の遊び場は2次元面ではない。3次元超曲面を想像することができる。3次元超球を想像することができる。しかし4次元超曲面を想像できるだろうか?

ちなみに、「宇宙」と呼ばれる4次元超曲面の4次元曲率には、ここでは探求しない特別な特徴がある。これは教育的モデルが限られていることを示している。しかし、それらは想像力を刺激し、多少異なる世界へと心を開くのに役立つ。