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天体の教訓的イメージ（星、惑星、高密度の卵）
太陽のような星は質量の集中である。その周囲には、空虚、あるいは「ほとんど空」の空間の一部がある。なぜならそこには非常に希薄な気体と光子が含まれているからだ。二次元では、対応する教訓的イメージは鈍い（正の）円錐である：
(18)
これは二つの要素で作ることができる。球の一部と（正の）円錐の一部を貼り合わせるのだ。球の部分は一定の曲率密度の表面である。円錐の部分は平らな表面、局所密度曲率がゼロの表面である。この最後の例はユークリッド表面である。球の部分は非ユークリッド表面（リーマン表面）である。
これは、空虚に囲まれた一定密度 r の物体の二次元の教訓的イメージである。
接平面の連続性を確保するために、二つの要素をどのように貼り合わせればよいのだろうか？それは簡単である。あなたの円錐の部分は、切断が角度 q に対応する円錐から来ている。あなたの球の部分は、初等的なミニ正円錐で構築されるものとされ、それゆえにある「量の角度曲率」q を含んでいる。もし二つの角度が等しければ、接平面は連続になる。
しかし、球の与えられた部分に含まれる曲率の量をどうやって測るのだろうか？
全曲率。
初等的な正円錐をつなぎ合わせて表面を構築することができる。それを一定の曲率密度の表面になるように配置することができる。そうすれば、その表面が球の一部であることがわかる。ますます多くの初等的な（正の）円錐を加えれば、この球は完全になる。それはある量の角度曲率を含んでいる。すべての球は同じものを含んでいる。ピンポン玉の全角度曲率と地球の全角度曲率は等しい。 although they have very different weight.
ちなみに、卵の全曲率も同じである。なぜならそれらは同じ位相を持つからだ。原則として、鶏は球面位相の卵を作る。個人的には、トーラス位相の卵を見たことがない。それは頭も尾もない奇妙な蛇か何かに対応するだろう。
ピンポン玉、つまり普通の球に戻ろう。もしこの表面が一定の局所角度密度を持つなら、それは角度曲率の量（初等的な角度 Dq の和）が面積に比例することを意味する。図19を見よ。この面積はどんな種類の境界でも制限できる。しかし球の測地線を使うことができる。球の面積を S、三角形の内側の灰色の面積を s と呼ぶ。
(19)
上で見たように、表面上に描かれた三角形について、ユークリッド和（180°）からの（正の）逸脱は、内側にあった円錐の頂点の数に依存していた。その和は180°に、囲まれた頂点に対応するすべての角度を加えたものであった。
逆に、ユークリッド和からの逸脱を測れば、三角形の内側に含まれる曲率の量を測ることができる。
球の測地線は球の大円と呼ばれる。図(20)を見よ。子午線、赤道は球の大円である。
(20)
球を等しい面積の八つの部分に切ることができる。図(21)を見よ。すべての角度の値が90°である八つの三角形が得られる。するとユークリッド和からの逸脱は90°である。これらの三角形のそれぞれは90°に等しい角度曲率を含んでいる。結論として、球の全曲率、全角度曲率は 8 x 90° = 720° = 4 p である。
(21)
各灰色の三角形は p/2 を含んでいる。
曲面、リーマン表面幾何学を楽しんでいるか？
鈍い円錐に戻ると、角度曲率は一定の曲率密度の領域の円形の境界の内側に含まれていることがわかる。円錐の側面、壁は有限の表面ではない。望むなら無限に延長できる。角度曲率の量は境界の周長、球の部分の面積に依存しない。後者は縮小できる。図(22)を見よ。たとえ同じ量の角度曲率を含む一点にまで縮小しても。だからこそ、円錐点は集中した曲率点だと言うのだ。逆に、円錐点の集合で滑らかな表面を構築することができる。
物質は原子でできている。原子は点状の物体と見なすことができる。それらは三次元空間における「集中した曲率点」である。
あなたが吸う空気は一定密度の媒質である。それは分子、原子でできている。それはユークリッド的な空間の部分で結ばれた集中した曲率点の集合である。あなたはそれを一定曲率の媒質に同化させる。
次に息をするとき、そのことを考えてみてほしい。
(22)
