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軌道、経路。

一般相対性理論の基本的な考え方は、対象が何であれ――惑星であれ原子であれ――物体の軌道を測地線に同化させることである。この概念を2次元曲面を使って説明しよう。もちろん、これは単なる教育的なイメージにすぎない。4次元の測地系はかなり異なっているからだ（実際、率直に言って醜い）。
(23)

ナンセンスだ！4次元系だぞ！

分かってるよ、ジャン＝マリー、分かってる。これはただの教育的なイメージなんだ……

鈍い円錐の上に測地線を描くことができる。図(24)を見よ。そしてそれを、下の図に示すように平面に投影することができる。
(24)と(24')

これは、質量集中が存在する空間の一部（灰色の領域）における粒子の経路を想起させるためのものである。灰色の領域を横切るものがある。それは物質の内部を走ることを意味する。そんなことが可能なのか？

ニュートリノは物質とほとんど相互作用しないため、太陽を横切ることができる。そうするとき、それは4次元超曲面の測地線に従う。だからこそ、灰色の領域を横切る測地線でこれを例示するのである。

我々の測地線を投影するこの平面にはどんな意味があるのか？それは、宇宙についての我々の心的表象にほかならない。我々はそれがユークリッド的だと考えている。物体は直線に従わないので、我々はその経路の曲がりが「力」によるものだと考えている。彗星が太陽に近づき、向きを変え、そして戻っていくとき、我々はそれが太陽による引力の作用によるものだと思う。しかしそれは空間の曲率によるものである。彗星は時空の測地線に従っている。この4次元世界では、それは「まっすぐ」進む。すべてがまっすぐ進む、物質も光も。

何世紀も前にプラトンは彼の洞窟の神話を考案した。人間は洞窟に閉じ込められているとされる。外には「現実」がある。中では彼らはその現実の踊る影が壁に投影されたものを見るだけだ。同様に、我々の世界についての心的表象は……より洗練された4次元構造が投影される壁なのである。

一般相対性理論と曲率。

上で我々は、物質が空間を曲げ、宇宙の幾何学、「宇宙と呼ばれる4次元超曲面」の形を形作ると述べた。古典的一般相対性理論では、局所曲率は正かゼロである。

我々は恒星、惑星、原子を正の曲率集中に同化させる（負の曲率とは何かについては後で見る）。

恒星、惑星、原子の間には、「空虚」と呼ぶものがある。しかし空虚は存在するのか？

物理学者にとって空虚、真空とは、すべての物質を取り除いたときに得られるものである。

しかし空間は物質なしに存在できるのか？ニュートンは存在しうると考えた。彼は空虚の発明者だった。フランスの哲学者デカルトは反対の立場をとった。彼は惑星の間に何らかの宇宙流体が存在すると考えた。彼は宇宙を一杯の紅茶のように想像した。ちなみに、フランス人にしてはかなり奇妙である。デカルトは、この空間流体が天体を押し、それらをその経路に沿って動かすと確信していた。たとえば、月が地球の周りを回るなら、それは我々の惑星を取り囲む何らかの流体の渦に捕らえられているのだと。

月の通過が海洋に潮汐効果を引き起こすなら、それはデカルトに従えば、月が一種の流体のクッションを通して海洋を押すからだった。彼は地球が細長い楕円体の形をしていると考えた。

ニュートンは反対の意見だった。彼は地球が遠心力により扁平な楕円体の形をしていると考えた。しかしニュートンは錬金術師でもあった。君はフランス人を知っているだろう。非常に因習的である。彼らは長い間ニュートンの考えを拒んだ。ヴォルテールはニュートンの考えを好んだ。彼はそのために戦い、ついに勝った。デカルト教授の宇宙流体はある種の幻影となり、ニュートン教授の空虚は堅固な現実の地位を得た。

ニュートンは彼のビジョンを完成させ、（重力による）瞬時の遠隔作用という概念を導入した。後に人々は、地球がニュートンの予測に対応することを示した。それは扁平な楕円体のように見えた。

つまり、ニュートンは正しく、デカルトは間違っていた。

まあ、今では物事はそれほど単純ではない。第一に、重力作用は瞬時ではない。重力場は光速で伝播する。次に、空虚は何世紀も前に我々が考えたほど空ではない。

それが科学の運命である。ある考えはある時代には正しく、次にある意味では誤りとなり、別の意味ではまた正しくなる。以下同様。それは振り子のように振動する。

真空ポンプ、非常に効率的なものを考えよう。概念的にはそれはピストン付きの単純なシリンダーである。最初、体積はゼロである。次にピストンを引く。シリンダーとピストンの接合部は非常に良いので、分子も原子もあらゆる粒子も入り込めない。我々は完全な空虚を生み出したと思う。図(24の2)を見よ。

(24の2)

しかし直ちにポンプの壁が放射、熱放射、すなわち赤外線に対応する光子を放出する。これらの光子がこの「完全な空虚」を占め、そこでは圧力は厳密にはゼロではない。放射圧があり、弱いが、非ゼロだからである。

光子とは何か。それはゼロ質量を持つと言われる。ならば、ポンプ内部の曲率はどうなのか。それはゼロなのか。それは空間のゼロ曲率密度の部分なのか？

次の節では、二つの円錐点を持つ曲面を構築する。図25を見よ。

(25)

紙を一枚、はさみを取る。二つの切り込みを入れ、線分をつなぐ：

S1AとS1 B

S2 CとS2 D

しかし、図(26)に示すように、別のやり方でもできる。
(26)

円錐を作るとき、その円錐点が平面のどちら側に触れるかは任意に選ぶ。図(25)では、二つの円錐点について自動的に同じ側、同じ向きを選んでいる。図(26)ではこれらの向きは反対である。

しかし円錐点は、どちらの方向を向いていようと円錐点である。そのような円錐点を内部に含む測地線を描けば、その集中した角曲率に対応する角度超過が得られる。図(27)を見よ。

(27)

二点S1とS2を含む、測地線で作られた三角形を描けば、角度の和は180°＋q1＋q2となる。

これはすべて何を意味するのか？

それは物質と反物質の双対性のための良い教育的イメージである。
両方とも正の質量を持つ。両方とも局所的な正の空間曲率を生み出す。
しかしそれらは……異なっている。すべては幾何物理学B、論文1から4で詳細に説明される。だが……アスピリンの瓶を忘れないように。

物質と反物質は異なる幾何学を持つ。それらは「追加次元」において異なる。

物質と反物質の和は光、光子を与える。したがって我々は、光子が物質と反物質の二つの粒が互いに接着されたものに対応すると考えることができる。

二つの円錐点S1とS2が互いに向かって傾いた、そのような奇妙な曲面を構築できる。図(28)を見よ。

(28)

対象は対称的であり、それが光子がその反粒子と同一である理由を「説明する」。

三つの測地線で三角形を描くことができる。和は180°＋2qであり、小さな角度が質量（二つの成分、物質と反物質について同じ質量）を表す。
(29)

すると光子は正の空間曲率を与える。我々の宇宙は質量と光子の混合物であるとされる。両方ともその局所曲率に寄与する。我々が空虚と呼ぶものは、結合した宇宙放射光子（物理学者が「黒体」と呼ぶもの）で構成されている。ここでの黒体は、2.7°Kの絶対温度を持つ「宇宙のオーブン」に対応する。

すると、古典的一般相対性理論の概念によれば、質量集中の間では、光子の存在により空間はわずかに曲げられている。厳密に言えば、周囲に物質のない質量集中を描きたいなら、次のように描くべきである：
(29の2)

負の質量が幾何学に与えうる影響は何か？

もしこれらの質量が存在するなら、それらは局所的な負の曲率密度を生み出すはずである。