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ネガコーン。
ここで、これから「ネガコーン」と呼ぶものを構築しよう。ポジコーンを構築するには、平面から扇形を除去した。ここでは、角度 q に対応する扇形を追加する：
(30)
この表面上に、粘着テープを使って測地線を描き、そのうちの3本で三角形を作ることができる。角度の和を測れば、それが180°−q であることがわかる。これを負の曲率集中を定義するものと言うことにしよう。
あなたの家にも負の曲率をもつ物体がある。たとえば椅子の座面などがそうだ：(30の2)
円板を取れば、図(31)が得られる：
(31)
もちろん、3本の測地線で構成される三角形が、すべての（負の）角曲率を含む頂点Sを含まなければ、和はユークリッド的な和、すなわち180°になる。
馬の鞍。
角度−Dq をもつ多数の基本的なネガコーンを構築し、それらを接合することができる。隣り合う頂点間の距離がほぼ一定になるようにすることもできる。そうすれば、一定の負の曲率密度をもつ表面、すなわち馬の鞍を構築できる。しかし、この表面が閉じることは決してない。
一般に幾何学者はこれを一定の負の曲率をもつ表面と呼ぶ。(32)
「鈍いネガコーン」。
前の節で、一定の正の曲率密度をもつ表面（球の一部）とポジコーンの一部を使って、鈍いポジコーンを構築した。
同様に、これから「鈍いネガコーン」と呼ぶものを構築できる。馬の鞍とネガコーンの一部を、それらの共通の円形境界に沿って接合しなければならない。接平面の連続性を保つには、馬の鞍に含まれる（負の）曲率が、ネガコーンの構築に関与する負の曲率と等しくなければならない。
必要なネガコーンの一部を構築するのは比較的容易である！
(33)
注：ポジコーンと同様、ネガコーンは印刷用の版として使うことができる。しかし、ネガコーンを平らな平面の上で転がす方法はほとんど想像できない。したがって、平面を負の曲率をもつ版の上で転がす方が容易である。
グーテンベルクは印刷技術を発明した。浮き彫りの図案が平面に彫られ、そこにインクを塗り、平面に押し付ける。
後に、新聞印刷（輪転機）のために、印刷版は円筒に変換された。
しかし、私の知る限り、誰も円錐印刷を使ったことはない。
いずれの場合も、重要な点は、どうするにせよ二つの表面を接触させることである。版を動かすか、紙（平面）を転がすかのどちらかである。
図(34)に示すように、円錐形の版を使って平面上に何かを印刷できる。平らに置かれた円錐形の新聞である。
(34)
誰かがいつかそれを使うとは断言できない。円錐対称に対応する特別な図案の衣装を制作したいとしよう。そのような衣装を何千着も制作しなければならないとしよう。元の図案を円錐形の版に彫り、それを使って素材や布地に印刷できる。顧客はそれを買い、「円錐形の」衣装を作ることができ、得られる模様が全体にわたって良好であることを確信できる。
図(35)は、負の曲率をもつ版で印刷した場合に得られるものである。右側は平らに置かれたネガコーンである。
(35)
図(36)は、馬の鞍をネガコーンの一部に接合する方法を示している。
ところで、次のように尋ねるかもしれない：
- 自分の馬の鞍に含まれる負の角曲率をどうやって測ればよいのか？
テキサス州の数学科の近くのいくつかの場所では、馬の鞍を買うと、対応する角曲率が添付のレシートに示される。そうでなければ、境界の周長や面積を、この負の曲率円板の半径から計算したユークリッド値と比較すれば、対応する角曲率を推測できる。これを実りある演習と考えてほしい。
(36)
(37)
今度は粘着テープを使って測地線を描き、図(38)に示すようにそれを平面に投影できる。
(38)
いつものように、この平面投影はわれわれの「精神世界」、プラトンの洞窟の壁を指す。投影された測地線の見え方は、われわれにとって、参照物体に何らかの斥力、たとえば斥力的な重力が働いていることを意味するだろう。実際には、すべては背後にある幾何学から来るはずである。
