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共役幾何学

ここで、鈍い正円錐面と鈍い負円錐面を関連付けることができる。
互いに向き合う形で：球面の一部分と馬の鞍面があり、角曲率はそれぞれ +q と -q で符号が逆である。点から点への対応（単射写像）が存在する。図(39)には、共役な点の対が描かれている。

共役幾何学とは、点から点への対応があり、局所的な曲率密度が互いに逆符号となる2つの幾何学的構造を指す。球面の一部分と対応する馬の鞍面はこの場合である。同様に、正円錐面の一部分は負円錐面の一部分と向き合っており、それらの局所的な角曲率密度はゼロである。
(39)

折り目 F における正の曲率は、球面の部分に完全に含まれている。正円錐面の部分はユークリッド面であり、「局所的に平坦」である。もう一方の折り目 F*（共役な折り目）では、すべての（負の）角曲率が馬の鞍面に含まれている。その外側では、負円錐面の部分は「局所的に平坦」であり、曲率を含んでいない。

ある折り目が与えられれば、もう一方の折り目を構築できることに注意されたい。

一般相対性理論

基本的な考え方は、局所的な「物質-エネルギー」の内容が局所的な幾何学を決定し、時空超曲面の形状を作るというものである。「物質-エネルギー」という複合語は、あらゆる内容が宇宙の幾何学を決定することを示している。すなわち、物質と放射である。先行するセクションでは、光子が（正の）曲率に寄与することを述べた。今日では、宇宙背景放射の寄与は無視できるほど小さい。幾何学に対する物質の寄与が支配的である。しかし、遠い過去では状況は逆転していた。標準モデルにおいて、t < 500,000年の場合である。

一般相対性理論の基本概念を視覚化するための教育的なモデルを探してみよう。定常状態の系を扱うものとする。内部応力のない平面を考える。局所的な応力を導入することで、その幾何学を変化させることができる。正または負の張力（応力テンソル）を導入できる。例えば、プラスチックフィルムを加熱すると、膨らみ（正の曲率効果）が生じる。

また、材料に製品を含浸させ、乾燥時に局所的な伸縮（負の曲率効果）を起こすこともできる。

板金職人は、暖めと冷却を駆使して金属表面を成形する方法を知っている。例えば、事故に遭った缶などである。

単純な金属管を取ろう。片側を暖め、反対側を冷やすとどうなるか？

(40)

応力により管は曲がり、図(41)に示すようになる。

(41)

金属に張力が導入された。これが数学における「テンソル」という言葉、材料力学、そして幾何学の起源である。材料力学の専門家は応力テンソルという用語を用いる。幾何学者は曲率テンソルを引用する。一般相対性理論の専門家は以下の基本原理を適用する。

局所的なエネルギー-物質の内容
<-------> 局所的な幾何学

もちろん、この局所的なエネルギー-物質の内容は、4次元超曲面の局所的な幾何学を決定する。しかし、考え方は類似している。

これをどのように記述するか？数学者がテンソルと呼ぶものを用いて記述する。

完全な微分幾何学の講義を展開せずに、この方向でさらに進むことは難しい。有名なアインシュタイン方程式は以下の通りである。
(42)

S = c
T

c は単純な定数（アインシュタイン定数と呼ばれる）である。これは他の2つの定数の値に依存する。

• 光速 c。

• 重力定数 G。

以下によって関連付けられる。

(42bis)

S は幾何学的テンソルであり、幾何学的特徴を担う。

T は別のテンソルで、宇宙の局所的な内容を記述する。このテンソルには、物質密度 r と圧力 p が含まれる。これらはエネルギー密度として表現される。

r c2

はエネルギー密度である。

しかし、p もまたエネルギー密度である。通常、圧力はパスカル毎平方メートルで表されるが、パスカル毎平方メートルはジュール毎立方メートルでもある。圧力は本質的に体積エネルギー密度である。

定常状態の系における場

r (x,y,z) および p (x,y,z)

は、問題の入力部分を形成する。これらのスカラー場からテンソル T を構築できる。すると、問題は以下のようになる。

• テンソル場 T (x,y,z) に対応する幾何学は何か？方程式 (42) を満たすものは？

宇宙の局所的な内容が与えられれば、理論家は時空超曲面の局所的な幾何学を構築しなければならない。しかし、何のために？

ここで、第二の基本的仮定が用いられる。

• 私たちの宇宙を構成するすべての物体は、時空超曲面の測地線に従う。

物体とは、恒星、惑星、原子、光子、素粒子などである。

粒子は場の方程式から生じるのか？全く違う。一般相対性理論はそれらを完全に無視している。一般相対性理論の専門家にとって、宇宙は連続体であり、それ以外ではない。入力関数 r と p は、宇宙のマクロな記述に対応する。出力も同様である。すなわち、測地線系である。一般相対性理論の理論家にとって、宇宙は超曲面であり、それ以外ではない。彼はこう言う。

• あなたは関数 r (x,y,z) と p (x,y,z) を私に与えた。私はあなたのために、場の方程式に従う適切な超曲面を構築した。私はすべての可能な経路、すなわち測地線系を決定した。しかし、あなたのために粒子を構築することは私には全くできない。申し訳ないが、他の部門に相談してほしい。

まとめると：一般相対性理論と素粒子世界を結ぶ橋は、まだ建設者を待っている。

しかし、天文学者はこう言うだろう。

• 誰が気にするのだ？光子はこの超曲面の特異な測地線に従うとされている。それは機能している。私は光学機器で物事を観測できる。惑星もまた別の種類の測地線に従うとされている。これも機能している。私はそれらの軌道を計算し、水星の近日点移動を予測できる。重力レンズ効果もある。

彼は正しい。

この重力効果について少し触れよう。まず、鈍い円錐のイメージは単純な教育的イメージである。例えば、恒星の周りの惑星の円軌道を記述することはできない。
(43)

これは単に教育的イメージの限界を示している。しかし、この最後の例を用いて、2つの測地線による重力レンズ効果を説明できる。

(44)

下は、空間の心像的かつユークリッド的な表現である。蜃気楼効果がある。単一の物体の代わりに、観測者は2つの「重力蜃気楼」を見る。