座標不変形式主義。
これは一般相対性理論のもう一つのキーワードである。宇宙論者の仕事は、内部応力によって材料の形状を予測することに相当すると述べた。
球の位相を持つ物体を取る。それは金属でできた球である。ここでも、熱風と冷風の流れによってそれを成形することができる。
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これらの流れは金属内に応力を生じさせ、それが形状を変化させる。もちろん、熱が金属内を伝播するにつれて、加熱と冷却を止めれば、球の温度は均一に戻り、その外観は再び規則的になる。
材料内に応力を生じさせ、それがその幾何学を変化させる。
この応力場はTと呼ばれるテンソルという数学的対象によって記述できる。
物体の幾何学は、アインシュタイン方程式に似た場の方程式から計算できる。
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S = a T
ここでaは定数、Sは幾何学的特徴を記述する幾何学的テンソルである。
解を「読む」最良の方法は、測地系を計算することであろう。球の測地線は知っているが、卵の測地線は異なる。これらの測地線を表現するには座標系が必要である。
球については(q,j)系を使うことができる：
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この特定の座標系において、球の測地線は特定の形で表現できる。例えば、曲線：
q = 定数（子午線）
は測地線である。しかし、曲線
j = 定数（緯線）
はその曲面の測地線ではない。
「卵」の表面上にも同様の座標系を定義できる。しかし明らかなことがある：測地系はその数学的表現とは独立に存在する（与えられた特定の座標系において）。
測地系は座標不変である。
もう一つの例はもっと単純である。平らな紙の測地線を考えよ。それらは直線である。これらの直線をデカルト座標で記述できる：
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この測地線の族を極座標で記述することもできる。そうすると方程式はまったく異なるが、それらは同じ直線の族を指している。これらの直線、平らな紙の測地線は、選ばれた座標とは独立に存在する。それらは座標不変な対象である。
方程式は本質的な属性ではない。
ある座標系から別の座標系へ移行するときに変化しないものだろうか？
そうだ：二点M1とM2の間の測地経路は変化しない。曲面上に描かれた任意の線についても同じである。曲面、点、それらを結ぶ曲線は、選ばれた座標とは独立に存在する。M1とM2の間の経路の長さについても同じである。これは二点を結ぶ特定の線である測地弧についても当てはまる：
(49)
ちなみに、この測地経路は極値経路でもある（例えばここに示す最短のもの）。
これは時空超曲面についても同様であり、それはそれ自身の測地系を持ち、やはり座標不変である。この超曲面上には長さsが存在し、それは対象に属し、選ばれた座標系とは独立である。
難しい点は、空間と時間が独立した量ではないことである。我々は点(x, y, z)を持つ3次元空間に住んでいるのではない。我々はその測地系によって完全に記述される4次元超曲面に属している。この超曲面の二つの異なる点M1とM2を考えよ。
そのような点は、与えられた4つの座標系で記述できる：
M1 ---> (x1 , y1 , z1, t1 )
M2 ---> (x2 , y2 , z2, t2 )
これらの点は事象と呼ばれる。それらを結ぶ測地曲線を計算できる（存在する場合）。そのような事象は同一ではない。両者の間で座標不変な距離sを測ることができる。この長さは次のように呼ばれる：
固有時s
あなたと私が宇宙船で、時空内に位置する点M1から別の点M2へ旅行すると仮定せよ。
sは我々の船内時計上の時間の測度である。
あなたはこう主張するだろう：
- しかし空間は存在するだろう？
- 注意せよ。我々が空間および「絶対時間」と呼ぶもののこの定義は、恣意的な選択に対応する。それらは、平らな紙上の直線の方程式を二つの異なる方程式で書いたときのように、表面を「読む」ための単なる便利な方法にすぎない。変化しない唯一のもの、すなわち座標不変なものは、別の座標不変な対象である測地線によって結ばれた二つの事象の間の固有時間間隔Δtである。いわゆる「絶対時間」tは、多少恣意的な年代順の目印にすぎない。
座標系を変えれば、事象の読み方が変わる。このウェブサイトで紹介する論文では、これが実際の問題であることがわかるだろう。
いずれにせよ、物理学者と数学者がテンソルに基づく座標不変形式主義を選んだ理由がわかるだろう。
テンソル形式の方程式は座標不変である。
これが一般相対性理論の精神である。しかし、洗練されたハードウェアを使わない限り、これ以上説明するのは難しい。
