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逆に、真の内在的特異点が面上に存在する。
これらは真の幾何学的特異点である：(55)
(56)
(57)
以下同様に続く…
ところで、折り目は、面上で線形曲率が集中する特殊な領域である。図(57)の左側では負の線形曲率、右側では正の線形曲率が見られる。
各部分図では、球面の2つの部分を用いた。全体の対象は球面と同じ位相を持つ。すなわち、その全角曲率は 4π である。
左側の対象が、それぞれ 3π の角曲率を含む球面の2つの部分から構成されていると仮定しよう。
3π +
3π = 6π
これは大きすぎる。したがって、最終的に必要な値 4π を得るために、（負の）線形曲率によってこれを相殺しなければならない：
結論として、我々の折り目は負の曲率を含んでいる：
- 2π
.
この曲率は、折り目に沿った円形曲線上に一様に分布している。
図(57)に戻ろう。測地線で構成された三角形を描いた。しかし、折り目は（細い）粘着テープで問題なく横断できる。三角形の内角の和を計算し、予測する方法は知っているだろう。三角形の面積と球面の面積を比較するだけでよい。曲率の超過分は以下の通りである：
(58)
ただし、折り目の部分、弧 mn に含まれる（負または正の）曲率を考慮する必要がある。それは以下の通りである：
(59)
図(57)の右側にある一種の「レンズ」が、それぞれ π の角曲率を含む球面の2つの部分から構成されていると仮定しよう。したがって、折り目を無視すると、この球面の2つの部分からなる集合は 2π の角曲率を含む。しかし、このレンズは楕円体状の位相を持つ。角曲率の寄与は 2π でなければならない。すると：
2π +
2π = 4π
（球面の全曲率）
3本の測地線で形成されたこの奇妙な三角形の内角の和も予測できる。弧 mn は線形角曲率を含んでいる：
(60)
折り目内、三角形内に含まれる角曲率の量を測定することで、ユークリッド和 π からのずれを評価できる。
面上のこれらの曲率の問題は、比較的容易に扱えることがわかるだろう。
面は円錐点や折り目線を持ち得る。これらは内在的特異点であり、座標系の選択に起因する人工的特異点ではない。折り目を滑らかにできることに注意されたい。そうすると、ピーナッツのような形状になる：
(61)
これは、円錐の点状の頂点（集中した角曲率）を滑らかにし、対象を鈍い円錐（球面の部分に分散した角曲率）に変換することに類似している。
図(61)の上部にある球面の2つの部分が、それぞれ球面の 2/3 を表しており、すなわち曲率が
(62)
「ピーナッツ」の灰色の部分には負の曲率が含まれている。具体的には：
(63)
