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代表空間

前節で、円筒を平面に展開できることを見た。さて、紙切れ、つまり平らなシートを用意しよう。これはユークリッド面である。その上に測地線を描くことができる。次に、それをくしゃくしゃに丸めてみよう。
(64)

もし、このくしゃくしゃになった面を剛体にし、粘着テープなどを使ってその上に測地線を描くことができれば、再び同じ系に出会うことになるだろう！ 面は実際には変化していないのだ。もしある住人がこのような「フラットランド」に住んでいるなら、彼はくしゃくしゃにする過程を認識できないかもしれない。彼にとっては何事も正常に見えるだろう。今日、彼がどのように生きているか、例えば彼の2次元時空面の測地線に沿って動いていることなど、すべてが正常に見えるのだ。

シートをくしゃくしゃにすることで、あなたは代表系、つまり3次元ユークリッド空間に埋め込まれた2次元面の表現方法を変更しただけである。

より単純な変更は、平らな金属板を波板に変形することである。図(65)を参照。
(65)

何年も前、私はエチオピアのアディスアベバの大市場にいた。そこでは金属は貴重である。若い男たちが単純なハンマーを使って波板を平らな板に変換している工場がある。もしそのうちの一人が作業前に測地線を描いていたなら、測地線系が変化していないことが分かっただろう。

しかし、正直なところ、彼が数学的な観点から測地線が何であるかを知っているかどうかは確信できない。もちろん、カゴを編む人は誰でも、自然に測地線を利用している。

私はバーモント州バーリントンとシャンプレーン湖近くの休暇キャンプで、カゴ編みの教師をしていたことを覚えている……何年も前のことだ。

幾何学的対象は、それ自身の存在と性質を持っており、それらは高次元空間であなたがそれをどのように図示するかから独立していることを心に留めておきなさい。くしゃくしゃにしていてもいなくても、シートはシート、つまりユークリッド面である。

私たちは4次元超曲面に住んでいるとされている。ちなみに、私たち全員が同じように住んでいるとされている。しかし、非常に魅力的な人物である私の妻クレアは、私がより高次元の空間（彼女は5次元だと思っている）に住んでいると確信している。私が個人的な5次元のどこかにいるとき、それは時折、コミュニケーションに困難をもたらす。

しかし、女性は本当に4次元超曲面に住んでいるのだろうか？ 私は時折それに懐疑的だが、それは別の話題である。

あなたが4次元超曲面に住んでおり、この時空の測地線に沿って進んでいると仮定し、牛が畝（うね）に沿って進むようにそれらに従っているとする。

さて、あなたが神だと仮定しよう。あなたは4次元超曲面の完全な表現を望んでいる。そのためには少なくとももう1つの次元が必要である。個人的には、もし神が存在するなら、彼は10次元の超世界に住んでいるに違いないと思う。その後の議論は『幾何学物理B』で展開され、群論に由来する。

神は群構造を持っているのか？

実際には、一般相対論の専門家は場方程式の解（アインシュタインの解）を計算する。次に彼は測地線系を調べる。それらは「4次元の直線」である。時空において、測地線に沿って進むとき、一般的な秩序は次のようになる：

• 真っ直ぐ進め！ 左や右に曲がるな。

あなたは、他のことができないから従うだけである。時空において曲がることは無意味である。すべてのもの、すべての人が「真っ直ぐ進む」。

しかし、物事、経路、軌跡は、私たちの3次元の目には曲がって見える。私たちはそれを私たちの心的空間表現の中で読み取っている。プラトンの洞窟の壁に面し、踊るような3次元の影を見ているのだ。

私たちの2次元的な教育的イメージ、つまり丸い円錐に戻ろう。これは質量集中（灰色の領域）付近の空間を表すとされている。これは定常状態に対応すると仮定する。

空間マーカーとして球面座標 (r, θ, φ) を使用できる（3次元では）。2次元では2つしかない：(r, θ)。

次に、図を平面に投影し、同じ極座標系を使用できる。次の図を参照。

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前述したように、丸い円錐の表面は、1917年にシュワルツシルトによって構築されたアインシュタイン場方程式の特殊な解を示唆する、粗い教育的モデルである。

(67)

S = c T

これは輝かしく巧妙な仕事である。当時、アルベルトは砂漠の孤島で迷子になった孤独な天才ではなかったことを言うだけで十分である。多くの人は、偉大なドイツ人数学者ヒルベルトが「アインシュタイン方程式」を発明したと考えている。また、アインシュタイン夫人が特殊相対論の構築に効率的に貢献した可能性を示唆する者もいる。特殊相対論はポアンカレとローレンツの仕事から自然に導かれるものである（アインシュタインの著作を見ると、彼は他の人々をほとんど言及していないことが分かる）。

シュワルツシルトの解は一般相対論の画期的な成果である。これは太陽の周りの惑星の相対論的軌道を計算するために使用され、水星の近日点の歳差を実証する。

誰でもすぐにこう言うだろう：

• なぜシュワルツシルトはそれを自分で計算しなかったのか？

それには非常に良い理由があった：彼は死んでいたのだ。

シュワルツシルトは愛国者であり、1917年に前線に行くことを強く主張した。そこで彼はガス攻撃を受け、後に死亡した。アインシュタインは仕事を続け、それは「アインシュタイン理論」となった。

これは定常状態の解であった。後にアインシュタインは、曲率をエネルギー・物質の内容と同一視できる宇宙のモデルを構築しようとした。しかし、当時、宇宙が非定常であることは誰も知らなかった。アルベルトは定常状態のモデルを構築しようとしたが、物事はうまくいかなかった。その後、彼は偉大なフランス人数学者エリー・カルタンを訪問し、カルタンは場方程式に定数を加えることを推奨した。アインシュタインはそれを行った。

その後、フリードマンという名前のロシア人グライダー操縦士が非定常解を発明した。ほぼ同じ時期に、エドウィン・ハッブルは宇宙の赤方偏移と非定常性を発見した。アインシュタインは非常に失望し、こう言った：

• もし宇宙が非定常であることを知っていたら、フリードマンの前に解を見つけていたのに！

もし、とラケダイモン人はよく言ったものだ。

しかし、その物語はそこで終わらなかった。当初、フリードマンは「フリードマンモデル」を構成する3つの解の一つである周期的解を構築していた。

アインシュタインは何年も沈黙を守った。その後、フリードマンの死後、彼は「アインシュタイン・ド・ジッターモデル」、つまり「放物線型のフリードマン解」を発表した。

その後、カルツァという名前の若いポーランド人研究者が論文を「アインシュタイン教授」に提出したが、1年以上も出版を拒否された。カルツァはアインシュタインに不満を訴え、アインシュタインはこう返信した：

• この理論をもっとよく調べてみるべきだ。私は懐疑的だ……

何年も後、カルツァのアイデア（時空に5次元目を加えること）は、超弦理論を含む高度な研究の出発点となった。『幾何学物理B』を参照。

まあ、アルベルトはそれほどスポーツマンではなかった……

太陽の周りの時空幾何に対応する定常状態3次元モデルに戻ろう。計算により、平面内に位置する測地線が得られる。曲率効果が穏やかで、光速 c に比べて速度が小さい場合、代表ユークリッド時空へのそれらの投影は、準ケプラー軌道とケプラーの法則に対応する。時間を忘れ、極座標を使用して平面内でこれらの測地線を描くことができる。

r = f (θ).

シュワルツシルト解では、図(68)で示唆されているように、実際には2つの関連する「計量解」が存在する。「質量体」の内部では、質量密度 ρ は一定であると仮定される。そこではエネルギー・物質テンソル T はゼロではない。しかし、外部では ρ と T はゼロである。

(68)

これは複合的な幾何学である。3次元では、質量密度は「質量集中」の表面（球体であると仮定）で急激な不連続性を示す。これは灰色の領域ではゼロではなく、外部ではゼロである表面での角曲率密度の不連続性に似ている。境界は S1 球面、つまり……円になる。

4次元では、測地線の連続性を保証するために数学的なリンクを構築できる。これは球面部分とポシコーン（ポシコーン？）部分の接続部分に似ている。

質量が大きくなると（私たちの粗い2次元的な教育的モデルでは記述できない）、閉じた経路はもはや楕円ではなくなる。

図(69)を参照。この図は中性子星の周りを飛行する宇宙船の軌跡に対応する。

太陽の周りの水星の軌跡は似ているが、楕円軌道の近日点の歳差は1世紀あたり0.15°である。

(69)

いつの日か、この問題で遊ぶことを可能にする公式とプログラムを含めるだろう。それはそれほど難しくない。

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