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幾何学的な文脈。

球は二次元の幾何学的対象である。その上の一点を特定するには、二つの量、二つの数、二つのスカラーが必要である。

球は位相を持つ曲面である。その位相はトーラスの位相とは異なる。

両者はともに測地系を持つ。前の節で指摘したように、球上の二つの異なる点M1とM2、およびそれらを結ぶ曲線を思い描くことができる。そしてこの特有の経路に沿って長さを測ることができる。それは座標不変な量である。S2球は、いかなる三次元の代表空間からも独立に存在する。しかし我々はそれを、我々が住んでいると想定されている身近なユークリッド三次元空間の中に思い描くことができる。そうすれば、この球に中心を与え、そのすべての点を中心に結ぶことができる。図(116)を見よ。各点は二つの角度、qとjに対応する。
(116)

球に穴を開けて、ベクトルOMを示せるようにした。ここでOは中心、Mは球上の一点である。

さて、図(117)ではベクトルを保ち、球を忘れる。

(117)

これらの半直線は無限であるが、我々の球の半径Rに対応する所定の長さで切って図示した。各直線は一組の(q, j)に対応する。計量構造は消え去った。測地線も長さもない。何が残るのか。

それらの半直線のいずれにも近傍を形成する隣接する直線がある。各半直線は、一連の円錐の中に囲まれたものとして思い描くことができる(図(118))。

(118)

どの直線の周りにも、望むだけ多くの円錐の線を置くことができる。二つの円錐の間には、常に別の円錐を置くことができる。これは直感的に微分可能性の概念を示唆する。このような幾何学的対象には不連続性がない。

さて、球を忘れて平らな面を取ろう。それは点の集合である。どのような座標系を選ぼうとも、点を二つの量、(x,y)、(r,q)などで定義できる。

実数の組。これらはR2、すなわち実数の集合から選ばれる。例えば(3,8705 , - 17,56)のように。

実数のどの組(x ; y)も無限の数の隣接点(x + Dx ; y + D y)を持つ。

これらの「前計量的」対象は数学者によって多様体と呼ばれる。

このような「柔軟な」媒質について考えるのはかなり難しい。図(119)では、計量性質を持つ剛体的な平らな面と、その下にその点の影を図示した。

(119)

影には固有の形も広がりもない。それはスクリーンと光線の生成に依存する。図(120)では、対象に対する影の相対性を示唆する。

(120)

これらの「平行線」は、球の点をその中心に結ぶために導入した光線に似ている。ここでは平面の点が無限遠にある「光源」に「結ばれて」いる。

この直線という最後の考えを捨てよう。茹でたスパゲッティの束を考えよう(茹でていなければ、剛体的で折れやすいものでなければならない)。我々はそれを曲げることができる。しかしスパゲッティは互いに結合したままでいるよう強制する。それらの近傍は変更されてはならない。

(121)

すべてが非常に粗雑で、十分に厳密でないことは承知している。読者に多様体とは何か、すなわち計量を持たず、主な性質がどの点も隣接点を持つことである幾何学的対象とは何かを示唆しようとしているだけである。

多様体は点mの集合である。多様体の任意の点を、計量性質や長さなどを持つ実曲面に属する点の組(M1 , M2)に対応づけることを想像できる……

n次元多様体を骨格多様体、対応するn次元曲面を単に折り目と呼ぶ。そして

多様体の二重被覆

を構築する。

図(122)では、多様体m2(二次元)の二重被覆を示す。

(122)

(122)では、同一の計量を持つ同一で平行なユークリッド的折り目(平面)を図示した。しかし図(123)を構築することもできる。

MとM*を共役点と呼ぶ。これら二つの折り目を「骨格多様体」から構築することには明確な意味がある。折り目Fの任意の点Mに、ただ一つだけの共役点M*を対応づけることができる。点対点の写像がある。そうすれば骨格多様体を忘れることができる。

折り目Fの任意の点の近傍は、その共役点M*の近傍に対応する。図(124)を見よ。これは、Fの任意の正則領域が、F*に属する共役な正則領域に対応することを意味する。
(124)

これは特に、共役点MとM*が同じ座標の組で記述されることを示している。