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共役な曲率。
局所的な正または負の曲率をもつ3次元空間を、どう理解すればよいだろうか。
2次元曲面から始めよう。球面を考え、図(125)に示すように、そのどこかに釘を固定する。長さLの糸を釘と鉛筆に結びつける。これを使って、球面の平行線である円を描くことができる。球面の平行線とは、与えられた点Sから同じ距離Lにある点の集合である。
同様の操作ができる(図(125)):
-
馬の鞍の上で
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平面の上で。
(125)
平面上では、周長は2πLであり、円盤の表面積はπL²である。
球面上では、円盤の周長と面積はより小さい。馬の鞍の上では、逆により大きい。
球面と、その赤道と一致する平行線を考える。図(126)を見よ。値は図(126)に対応する。
(126)
円盤の面積は、対応する球面の(灰色の)部分より3.875倍大きい。その周長は赤道の長さより1.57倍長い。
同様のテストは、馬の鞍の負の曲率を示すだろう。与えられた点から同じ距離Lにある点の集合である閉曲線を馬の鞍の上に描けば、この負の曲率の円盤の表面積は、平坦な円盤の表面積πL²より大きい。同様に、負の曲率の円盤の周長は、平坦な円盤のそれ、2πLより大きい。
幾何学は盲人のための科学である。幾何学者は、与えられた空間の住人が自らその幾何学的性質を発見するために行いうるテストを構築しようとする。前述の図から、2次元曲面の住人は、外部の視点からそれを見ることができなくとも(その中に住んでいるのだから)、面積と長さの測定を通じて、自分たちが住む曲面の部分が正の局所曲率、負の局所曲率、またはゼロの局所曲率(ユークリッド空間)をもつかどうかを発見できよう。
局所曲率が正、ゼロ、または負でありうる曲面があることに注意せよ。例:トーラス。
(126ter)
同様の方法は3次元空間にも当てはまる。どこかで点Oを選ぶ。糸と「鉛筆」を取り、それを使って、考慮中の点から与えられた距離Lにある点の集合を描く。球面が得られ、その面積を測ることができる。この曲面がユークリッド3次元空間内に作られたものであれば、この面積は4πL²となる。
この面積がより小さいとわかれば、この3次元空間はユークリッド的でないことを意味する。それは正の曲率をもつリーマン的3次元空間である。体積を測れば、それは次より小さいとわかるだろう:
(127)
負の曲率をもつ3次元空間を扱う場合には、状況は逆転する。固定点Oから与えられた距離Lにある点の集合と見なされる球面の面積は、4πL²より大きくなる。その閉曲面の内部の体積は、(127)より大きくなる。
宇宙論は単純な3次元空間ではなく、4次元超曲面(「双曲的符号」をもつ)に基づいているので、このような提示には限界がある。これを粗い教育的モデルと見なさねばならない。
n次元空間のリーマン・スカラー曲率は、いくぶん異なる。
我々の現在の宇宙論的モデルでは、共役点(M, M)における局所スカラー・リーマン曲率が逆であると仮定する:*(127bis)
R* = -R
専門家は論文により詳しい詳細を見出すだろう:
J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost matter astrophysics.
2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics
A , 5 , march 1998.
次に、図39に対応する有用な2次元の教育的イメージを示す。
(128)
上:平滑化されたポジコーン。ポジコーンの部分では局所(角)曲率はゼロ。球面の(灰色の)部分では一定の正の(角)曲率密度。
下:「平滑化されたネガコーン」。馬の鞍を囲むネガコーンの部分では局所(角)曲率密度はゼロ。球面の部分に面する馬の鞍の部分では一定の負の(角)曲率密度。
曲率は共役である。向かい合い、点対点の対応をもつ、ポジコーンとネガコーンの局所曲率ゼロの部分。
向かい合い、点対点の対応をもつ、一定の正の曲率の曲面(球面の部分)と負の曲率の曲面(馬の鞍)。曲率密度は等しく逆である。円形の境界は点対点で結ばれている。
これは我々の宇宙論的モデルの教育的イメージである。より数学的な詳細については、次を見よ:
J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost-matter astrophysics.
1.The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation.
Geometrical Physics A, 4 , march 1998.
