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ゴースト物質によって誘起される幾何学。
前節では、フォールドF内に位置する一定密度の正の質量Mの存在に起因する共役幾何学を研究した。ここで、フォールドF*内に（一定密度r* > 0の）正の質量M* > 0が存在すると仮定しよう。宇宙のこの部分では、Fの共役領域は空であると仮定する。
そのとき、T*はフォールドF*の空でない部分のエネルギー・物質の内容を記述する。対応する場の方程式系は次のとおりである：
S = - c T*
S* = c T*
幾何学は単に交換する：
(135)
図(135)を見ると、フォールドF*に位置する質量M*が、この双子のフォールドの測地線に従うゴースト質量を引き付け、フォールドFの測地線に従う通常の質量を反発させることがわかる。
図(135)を見ると、フォールドFは、そのフォールドF*内のゴースト質量M*の存在に起因する誘起幾何学を得ることがわかる。
相互作用法則。
(128)と(135)から、相互作用法則を導出できる：
-
物質は物質を引き付ける
-
ゴースト物質はゴースト物質を引き付ける。
-
物質とゴースト物質は互いに反発する。
参照：
J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost-matter astrophysics.
1.The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation.
Geometrical Physics A , 4 , march 1998.
本論文ではさらに、相互作用力がニュートン的であることを示す。
これはJ.M.Souriauによって提案されたスキーマとは異なることがわかる。そこでは第2種の2粒子が互いに反発する。
我々のスキーマでは、すべての質量mとm*が正であることがわかる。しかし誘起幾何学現象により、どこかで局所的な負の曲率を持つことが可能となり、これは古典的一般相対論では禁じられていた。
要約すると、場の方程式系を次のように書くことができる：
(136)
S = c (T - T*)
(137)
S* = c (T* - T)
これにより逆スカラーリーマン曲率が得られる：
(138)
R* = - R
フォールドFにおける局所曲率が正である場合、それは次を意味する：
(139)
T > T*
または：
r > r*
そのとき、共役曲率はF*の隣接部分において負である。
逆に、フォールドFにおける局所曲率が負である場合、それは次を意味する：
(140)
T < T*
または：
r < r*
そのとき、それはフォールドF*において正である。
フォールドFにおける局所曲率がゼロである場合、それは双子のフォールドF*の隣接部分においても曲率がゼロであることを意味する。
さらに、次のいずれかである：
T = T* = 0
または：r = r* = 0
T = T* (r = r*)
古典的一般相対論の検証について。
物質とゴースト物質は互いに反発する。銀河は物質の集中である。そのとき、双子空間F*の隣接部分は極めて希薄である。なぜなら質量m*は押しやられているからである。太陽の近傍では、ゴースト物質密度（r*またはT*）は無視できる。そのとき、場の方程式系は次に帰着する：
(141)
(141 bis)
(141)はアインシュタイン方程式であり、これから一般相対論のすべての局所的古典的検証を構築する。
アインシュタイン方程式は、ゴースト物質密度がゼロに Tend するときの極限ケースとなる。
