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幾何学に関するこの第一部の結論。

幾何学的物理学Bおよび群論について一言。

（物理学に応用された群論の要素は、サブサイト「幾何学的物理学B」の冒頭、「物理学の動力学群」に示されている。）

私たちは新しい幾何学的概念を導入した。

• ツイン幾何学：当初、アンドレイ・サハロフのアイデアに触発されたもの。宇宙は一つだけでなく二つ存在し、サハロフは1967年にこれを「ツイン宇宙」と呼んだ。

• これら二つの宇宙は遠く離れた場所に存在するのではなく、「同じ場所」にある。私たちは、黒いマス目で一方のゲームを行い、白いマス目で他方のゲームを行うという、チェッカー盤の（原始的な）教育的イメージを提示した。

• これは、より洗練された幾何学的構造の教育的イメージであり、その構造において、宇宙全体は二つの異なる（しかし相互作用する）折り畳み（フォールド）から構成されている。これらの折り畳みは4次元超曲面であり、「骨格多様体の二重覆い」と見なすことができる。

• 一般相対性理論と同様に、粒子は各超曲面の測地線に沿って運動すると仮定する。その一方は私たちの時空であると考えられ、他方はツイン時空であると考えられる。

各折り畳み内の測地線に沿って巡航すると仮定される粒子には、概略的に以下の3種類がある。

• 物質

• 反物質

• 光子

したがって、第二の折り畳み、すなわちゴースト折り畳みまたはゴースト宇宙と呼ぶことができる第二の宇宙では、以下が見出されるであろう。

• ゴースト物質

• ゴースト反物質

• ゴースト光子

（これらすべては「幾何学的物理学B：物理学における動力学群」で詳細に説明されている。）

• 二つの折り畳みは異なり、それらの測地線もまた異なる。したがって、私たちの折り畳みFの測地線上を移動する光子は、ジャンプしてゴースト宇宙、すなわちゴースト折り畳みFに属する「ゴースト測地線」を追うことはできない。結論として、私たちの折り畳み内の物質（または反物質）によって放出された光は、もう一方の宇宙に到達し、何らかのゴースト粒子によって受信されることはない。もし折り畳みFに生命体が存在するとしても、純粋に幾何学的な理由により、彼らは私たちの星、銀河、私たちの折り畳み内にあるものを見ることはできない。

• 逆に、ゴースト折り畳みF*（またはゴースト宇宙）内のゴースト物質（またはゴースト反物質）の粒子によって放出されたゴースト光子は、その折り畳みの測地線上を移動し、もう一方の折り畳み、すなわち私たちの折り畳みへジャンプすることはできない。したがって、私たちの宇宙に位置するいかなる質量を持つ粒子によっても受信・捕捉されることはない。結論として、ツイン宇宙、影の宇宙、ゴースト宇宙など、どのような名前を選んでも、それらの構造は基本的に私たちには見えない。もしこの第二の宇宙に何らかの構造が存在するとしても、同じ理由、すなわち純粋に幾何学的な理由により、光学的手段によってそれを観測することはできない。

• このアイデアは超弦理論の先進的なアイデアに近い。超弦理論コミュニティの多くの研究者は現在、重力場を通じてのみ通信する二つの世界が存在すると確信している。
  ウィッテン（フィールズ賞受賞者）、ダフ、グリーン、シュワルツ、ノーベル賞受賞者アブドゥス・サラム……。
  マイケル・ダフによる最近の論文、「新しい超弦理論」（『Pour la Science』誌、1998年4月号、フランス語訳あり）を参照のこと。
  ダフは「壁の上の物質」と、「最初の壁に平行な別の壁の上の、目に見えない物質」を想像している。
  互いを見ることができず、重力力を通じてのみ通信する二つの宇宙、二つの実体というアイデアは、当初、グリーン、シュワルツ、ノーベル賞受賞者アブドゥス・サラムに由来する。

一般的なアイデアは、次元数を拡張することである。古典物理学では、この数は4つ（x, y, z, t）であり、時空に対応する。現代の理論物理学では、この数を拡張する傾向があり、一般的には10まで拡張される。

そしてすべては群論と対称性に基づく。対称性とは、以下のような2次元または3次元空間の親しみやすい対称性だけではない。

• 点に関する対称性

• 平面に関する対称性

• 直線に関する対称性

• または回転対称性（周期的な物体、結晶）。

平行移動によって変化しない物体は、この「種の対称性」を有する。

また、例えば時間に関する対称性もある。質量点Mから距離rの位置にある試験粒子の運動を考えよう。

Gを重力定数とすると、ニュートン力学において運動は以下の微分方程式に従う。
(142)

これは特解を持つ。
(143)

この最後の解は時間反転可能**である。**私たちは時間に関する対称性、すなわちT対称性を得る。

粒子は固有の対称性の集合を有する。これは、「物事」を支配する群を構築しようとする場合、強い制約条件を形成する。
現在、超弦理論の研究者たちは壁に直面している。彼らのツールボックスはあまりにも多くの可能性を提供するため、理論（単数形）ではなく、理論群（複数形）について語っている。かつてよく言われたのは、「百万もの可能な理論のうち……」ということである。

私は同僚のピエール・ミディとともに、異なる角度からこの問題にアプローチした。それは「群の運動量空間への余随伴作用」と呼ばれるツールを用いたものである。ジャン＝マリー・スリアウの著書を参照のこと：
"Structure of Dynamical Systems", Birkhauser Ed. 1997.
（また、「幾何学的物理学B、物理学における動力学群」も参照のこと。）

このようなツールを用いることで、陽子、中性子、電子、光子、ニュートリノ、およびそれらの反粒子といった素粒子を幾何学化することが可能になった。しかし、より深層の構造（クォーク）については扱っていない。私たちの論文を参照のこと：
J.P.Petit and P.Midy : Geometrization of matter and anti-matter through coadjoint action of a group on its momentum space. 1 : Charges as additional scalar components of the momentum of a group acting on a 10d-space. Geometrical definition of anti-matter. Geometrical Physics B, 1, 1998.

この論文には、反物質の幾何学的定義が含まれている。

簡単に言えば、古典的な時空：{ x , y , z , t } に、さらに6つの追加次元を加える。

{ z
1, z 2,z
3,z 4,z
5,z 6
}

これらのスカラーをベクトル z に関連付けることができる。同様に、時空ベクトルを定義できる。
(144)

粒子が10次元空間に「住んでいる」と見なすことができる。
(145)

(146)

あるいは、単に：

z ---> - z

これは以下を意味する：

z 1 -----> - z
1

z 2 -----> - z
2

z 3 -----> - z
3

z 4 -----> - z
4

z 5 -----> - z
5

z 6 -----> - z
6

すべての追加次元が反転する。

追加次元の導入は、動力学群を変更する。スリアウの著書、Birkhauser Ed. 1997を参照のこと。

非量子相対論物理学において、動力学群はポアンカレ群である。第五次元zを導入して量子世界へ拡張する（Souriau, 1964）。さらに、コスタント・キリロフ・スリアウの方法により、「ポアンカレ群の中心拡大」、すなわち新しい動力学群からクライン・ゴルドン方程式を構築することが可能になる。

私たちは、その運動量への余随伴作用が6つの古典的な量子数を与える、一般化された拡張ポアンカレ群（「プティ群」）を扱っている。

q : 電荷

cB : 重子数

cL : レプトン数

cm
: ミューオン数

ct
: タウオン数

v :
ジャイロ磁気定数。

そして、粒子は以下の集合によって定義される。

{ q , cB , cL
, cm , ct
, v ,
E , px , py, pz, s }

E はそのエネルギー

{ px , py, pz} はその運動量ベクトル

s はそのスピン。

例えば、電子は以下に対応する。

q : 電荷 = - 1

cB : 重子数
= 0

cL : レプトン数
= 1

cm
: ミューオン数 = 0

ct
: タウオン数 = 0

v : ジャイロ磁気定数。
= ve

s = 1/2

そして反陽子は以下に対応する。

q : 電荷 = - 1

cB : 重子数
= -1

cL : レプトン数
= 1

cm
: ミューオン数 = 0

ct
: タウオン数 = 0

v : ジャイロ磁気定数。
= - ve

s = 1/2

光子は以下に対応する。

q : 電荷 = 0

cB : 重子数
= 0

cL : レプトン数
= 0

cm
: ミューオン数 = 0

ct
: タウオン数 = 0

v : ジャイロ磁気定数。
= 0

s = 1

ディラックの反物質では、すべての電荷が反転する（電荷を含む）。

光子のすべての電荷がゼロであるため、光子は自身の反粒子であることが説明される。なぜなら：

• 0 = + 0

したがって、この方法は（通常の）素粒子の最初の幾何学化を与える。記述は原子核の構成要素に限定されている。