f103
| 3 |
|---|
曲率（正の）。
...私たちが平面に地図線で構成された三角形を描いたとき、その頂角の和はπであった。平面とは、平らで「曲がっていない」、ユークリッド的な面である。したがって、この三角形の頂角の和は、ユークリッド的な和である。前の実験で、三角形が円錐の頂点を含んでいなければ、その和は依然としてユークリッド的であった。しかし、三角形が頂点Sを含む場合、その和は、その三角形がこの点を含む限り、常に余剰量qを示す。私たちは、円錐の頂点を「集中曲率点」と呼ぶ。
...さて、これより先の実験に移ろう。二つの円錐を、それぞれ角度q1およびq2の切り取りで作成し、それらの表面要素を互いに接着することができる。
...より簡単な方法として、カーボン紙の一枚に二つの切り取りを行い、以下の表面を構成することができる。
この表面に、希望するだけの地図線三角形を描くことができる。
-
S1およびS2の両方を含まない場合：頂角の和はπ
-
S1のみを含む場合：頂角の和はπ + q1
-
S2のみを含む場合：頂角の和はπ + q2
-
S1およびS2の両方を含む場合：頂角の和はπ + q1 + q2
...小さな角度Δqを持つ多数のミニポジコーンを用意し、それらを互いに接着することができる。さらに、各ミニポジコーンの頂点に付随するΔqの和を曲率とみなすことで、単位面積あたり一定の曲率密度を持つ表面を構成できる。
...これらのミニポジコーンをさらに小さくし（それに伴い、対応する微小角Δqも小さく）、これを用いて「曲率密度が一定の」表面領域を構築できる。
球面は「曲率密度が一定」の表面である。より簡潔に、「局所曲率が一定」と呼ぶ。
卵は「曲率密度が変化する」曲面である。より簡潔に、「局所曲率が変化する」と呼ぶ。
...一般相対性理論は、体積密度ρと局所曲率を同一視することを目的としている。もちろん、一般相対性理論は、2次元または3次元の表面ではなく、4次元の超表面を扱っている。したがって、ここまでの記述に過度な要求をしてはならない。これらの図は、概念を定着させるための教育的図解にすぎず、それほど悪いものではない。
天体の2次元教育的図解。
太陽のような天体は物質の集積であり、真空か、少なくとも準真空（すなわち、曲率が非常に小さい領域）に囲まれている。2次元的な教育的図解では、これは鈍角の円錐に相当する。
...鈍角円錐は、二つの要素から構成される：一定の曲率（または「一定の曲率密度」）を持つ球帽と、円錐台である。この円錐台は「平ら」であり、その曲率密度はゼロである。これはユークリッド面である。これは、体積密度ρが一定の天体の2次元教育的図解である。
...ついでに、円錐台と球帽を完全に接続し、接平面が連続になるようにするにはどうすればよいかという疑問が浮かぶ。
...簡単である。円錐台は円錐から作られ、その際には角度qの切り取りが行われる。一方、球帽にはある「曲率量」が含まれており、これも角度である。これは、球帽を構成するすべてのミニポジコーンの角度の和である。この二つの角度が等しくなる必要がある。
しかし、与えられた球帽に含まれる曲率量をどのように評価すればよいだろうか？
../../../bons_commande/bon_global.htm ...
**
2004年7月1日以降のこのページの閲覧回数**：