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一般相対性理論と曲率.
...物質が空間を曲げ、宇宙の幾何学、すなわち「宇宙の超曲面」を決定すると述べました。しかし、一般相対性理論においては、曲率は正またはゼロです。私たちの環境では、太陽、惑星、星など質量の集まりが見られます。それらの間には、私たちが真空とみなす何かが存在します。しかし、その「真空」とは本当に存在するのでしょうか？
...物理学者の真空とは、物質をすべて取り除いた後に残るものです。しかし、それは「何もなし」ではありません。最も完全な真空でも、常に光子が存在しています。質問：光子は、宇宙において曲率を生じさせるのでしょうか？
...光子は質量がゼロとされているため、「いいえ」と答えるtempted（誘われる）かもしれません。しかし、これは「慣性質量」についての話です。光子は「重力質量」を持ち、重力場に寄与するのでしょうか？
光子について話す前に、反物質について考えてみましょう。さきほど、二つの錐状点を用いて表面を作りました。
...機械的に、もし作成したなら、二つの錐状要素を同じ方向に配置したでしょう。しかし、別の方法で配置することも可能です：
...錐は、頂点が上を向いても下を向いても、同じものです。この奇妙な物体を構築し、テープで測地線を描けば、同じ結果が得られます。この二つの錐状点 S1 と S2 は、正の集中曲率を持つ点です。
...曲率を質量と同一視すれば、これは二つの正の点質量の周囲の幾何学を教えるための図解的表現です。
...これは物質と反物質の二重性の良い比喩であり、次の事実に気づかせてくれます：反物質は正の質量を持つ。物質と同様に、局所的に正の曲率を生じさせる。
...物質と反物質は出会い、消滅して電磁放射（光子）を生成します。逆もまた然りです。したがって、二つの頂点 S1 と S2 を近づけることで、光子の図解的表現が得られます。その後、A と B、C と D を接続して二つの錐状要素を製作します。
...このモデルから、光子は自分自身の反粒子であるという示唆が得られます。なぜなら、錐の頂点がどの方向を向いているかはもはや区別できなくなるからです。
...どうしてこのような紙の変形が可能なのでしょうか？しかし、これからの議論で、さらに類似の操作を繰り返す予定です。いずれにせよ、二つの錐状点を収束させた点の周りに測地線三角形を描くと、ユークリッド幾何学の角度和より正の超過が得られます。
...物質と反物質の消失によって生じる光子は、空間を正に曲げます。
...今の段階では、すべてが正です：質量も、曲率も、エネルギーも。負の質量が存在した場合、どのような幾何学が生じるでしょうか？もし負の質量が存在するなら、局所的に負の曲率を生じさせます。これにより、負錐（ネガコーン）について議論する必要があります。
負錐（ネガコーン）。
...通常の錐（「ポジコーン」）を作るには、角度 q に対応する扇形を切り取り、端を接着しました。今回は逆の操作を行います。ブリスターペーパーに切り込みを入れ、代わりに角度 q の平らな角（角型のパッチ）をはめ込みます。
...右図には、測地線で構成された三角形が示されています。この場合、角度和はユークリッド幾何学の値より角度 q だけ小さくなります。この点 S を「負の曲率集中点」と呼びます。円形の端を持たせた場合、次のようになります：
...もちろん、測地線で構成された三角形が点 S を含んでいない場合、角度和は π に等しくなります。このネガコーンの「側面」はユークリッド的であり、曲率は存在しません。曲率は、負であり、点 S に集中しています。
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