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馬の鞍。
…少なくとも考えることで、多数の小さな負の円錐をつくり、それらを互いに接続することができる。もし頂点がこの表面にほぼ均等に分布するようにすれば、一定の負の曲率密度を持つ面要素が得られる。しかし、球面とは異なる。この表面は閉じることはない。
…仮に、一定の負の曲率密度（一定の負の曲率）を持つ面の一部をつくり上げたとしよう。任意の点を選び、釘と紐を用いて円形の輪郭を描くと、いわゆる「馬の鞍」（一定の負の曲率を持つ表面）が得られる。
鈍角の負の円錐。
…以前、球帽から出発し、円錐台で縁を縫い合わせることで、鈍角の円錐（「鈍角の正円錐」）をつくり上げた。さらに、接平面の不連続性が生じないよう調整する方法も見つけた。その際、円錐台が切り出された元の円錐の作成に使った角度は、球帽に含まれる角曲率量と等しくなければならない。
…馬の鞍に含まれる負の角曲率量を、円周と半径を比較することで測定する方法がある。これは鞍屋ではあまり行われない作業であるが、仮にその値がわかっているとしよう。その値に基づいて、負の円錐台をつくることができる。
注：負の円錐は、円錐と同様、展開可能な表面である。つまり、平面に「貼り付ける」ことができる。しかし、その操作はやや難しく、剛性のある平面の上を負の円錐を転がす方法は、容易には思いつかない。
…転がす操作よりも、貼り付ける操作、あるいはより具体的に言えば「印刷」の操作を考えるのがよい。印刷とは何を意味するか？それは、インキを含んだ凸模を備えた表面を、別の表面に押しつけることである。
…ゲーテンベルクの時代には、平面を平面に押しつけていた。布に模様を印刷する際には、円筒を転がす。回転式の印刷機では、二つの円筒の間を紙の帯が通され、その一方の円筒が持つ凸模の模様を、基材に印刷する。
…結局、紙を型に押しつける方法は、型が展開可能な表面であれば、どうやってもかまわない。剛性のある平面の上を円錐を転がす代わりに、手で紙を円錐に少しずつ貼りつけて、ずらさないようにすればよい。円錐に凸模を施し、インキを塗って紙に押しつけると、最終的に次のような結果が得られる。
…同様に、柔軟な紙を、インキを含んだ凸模を備えた負の円錐に貼りつけることもできる。その結果、紙にはすべての模様が再現され、次のようなものが得られる。
単なる遊びとして、負の円錐が確かに展開可能な表面であることを示す。
このような物体上でも、鈍角の正円錐と同様に、測地線を描き、それを平面に投影することができる。
…平面への投影は、私たちが世界をユークリッド幾何学的に認識する場合、軌道がどのように見えるかを示してくれる。私たちの馬の鞍に相当する物体は、反発的な重力のような軌道を生み出すだろう。
…この奇妙な表面を「鈍角の負の円錐」と呼ぶことにしよう。これはただの言葉だが、名前は必要である。以前に述べたように、鈍角の正円錐から尖った円錐への連続的な変化が可能であり、逆に尖った物体を鈍角に加工することもできる。
…同様に、「鈍角の負の円錐」から、負の曲率が集中した一点を持つ負の円錐への連続的な変化も可能である。
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