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共役幾何学。
...ここでは、曲率の量が同じだが符号が逆の、鈍角のポジコーンと、鈍角のネガコーンを対応させます。すなわち、+q と -q です。これらを互いに向かい合わせに配置することで（同時に「点対点の写像」、一対一かつ単射を構成します）。これにより、二つの面が生じます。それらを F と F* と呼びます。F の任意の点に対応する点が F* に存在します。
...「鈍角部分」の円形の輪郭が、点対点で一致するように工夫しましょう。これは平面に投影することで図示できます。これにより、共役曲率を持つ二つの曲面が得られます。
...円錐面の側面は「曲がっていない」ものであり、これらはユークリッド平面の要素です。このような曲面上の任意の点で、局所的な曲率はゼロであると述べます。球面の帽と馬の鞍が点対点で対応しており、その曲率は互いに逆です。
一般相対性理論。
...出発点は、宇宙の幾何学がその「エネルギー-物質」の内容によって決定されるという考えです。ここで「エネルギー-物質」という語を用いている点に注意してください。これは単に物質だけでなく、放射、光子（あるいはニュートリノ）も含むことを示しています。前述の通り、光子は空間に微小な正の曲率を生じさせます。
...まず、定常状態で議論を進めます。平らで自由な表面とは、張力がゼロである表面のことです。この幾何学を、正または負の張力を加えることで変更できます（符号は規約によるものです）。たとえば、プラスチックフィルムを加熱すると、正の曲率を持つ膨らみ（ポケット）が生じます。
...また、紙の表面に乾燥時に収縮する物質を塗ることもできます。その張力により、負の曲率を持つ領域が現れます。
...金属加工職人は、このような張力を巧みに操って金属板を変形させます。たとえば、金属の管を考えてみましょう。一方を加熱し、他方を冷却すると、どうなるでしょうか？
管は曲がります。加熱された部分は膨張し、冷却された部分は収縮するからです。
...このようにして、金属中に張力が生じました。これが「テンソル（tensor）」という語の由来です。材料力学の専門家は「応力テンソル」と呼び、幾何学者は「曲率テンソル」と呼びます。
上記の簡単な実験は次の考えを示しています：
局所的なエネルギーの分布 -----> 局所的な幾何学
...一般相対性理論でも同様の考えが用いられます。違いは、ここでの二次元表面の幾何学ではなく、四次元の超曲面の幾何学が、局所的なエネルギー-物質の分布によって決定される点です。しかし、基本的なアイデアは類似しています。
...数学者はこのときテンソル記法を用います。非数学者にはこれ以上説明できませんが、アインシュタインのテンソル S（太字を使用）は幾何学的側面を表します。アインシュタインの式では、S はもう一つのテンソル T に比例し、比例定数として「アインシュタイン定数 c」が現れます。
したがって、有名なアインシュタインの式は次のように書けます：
S = c T
...テンソル T には、体積密度 r と圧力 p が含まれます（実際には最も一般的なテンソル T はより複雑ですが、ここでは一般的な表現で十分です）。定常状態では、密度と圧力の分布 r(x,y,z)、p(x,y,z) を与えます。これにより、問題のすべての情報を含むテンソル T を構成できます。問題は次のようになります：「このテンソル T に対応する幾何学は何か？ ただし、上記の式を満たすものとする。」
...言い換えると、物理学者は宇宙の局所的な内容を知っているとして、宇宙の超曲面の幾何学を求めるのです。
幾何学とは、測地線を意味します。ここに一般相対性理論の第二の仮定が登場します：
宇宙を移動する物体は、
時空の超曲面の測地線をたどると仮定する。
ここで「物体」とは、素粒子（基本粒子、光子、ニュートリノ）だけでなく、惑星、星なども含みます。
この段階で一言付け加えます。この話の中で、素粒子はどこにいるのでしょうか？
...答えは、一般相対性理論の専門家はマクロな視点で議論しています。問題の入力となる体積密度 r と圧力 p は、宇宙の内容をマクロな観点から記述したものにすぎません。出力についても同様です。幾何学者は次のように述べます：
- あなたは関数 r(x,y,z) と p(x,y,z) を与えてくれた。それにより、それに合う超曲面とその測地線の族を構成した。だがそれ以上はできない。粒子や原子などを生成することはできない。それについては、別の専門家に相談してほしい。
要するに、一般相対性理論と素粒子物理学の間の橋はまだ架けられていないのです。
しかし、天文学者は次のように言います：
- どうでもよい。この仮定、すなわち光子がこの超曲面の特定の測地線をたどるという仮定は、実際に機能する。証拠は観測できる。もし惑星を点質量とみなして、それも同様の超曲面の測地線をたどると仮定すれば、その軌道を構成できる。また、重力レンズ効果も存在する。
彼の言うことは正しい。
...重力レンズ効果について少し述べましょう。もちろん、鈍角円錐の図はあくまで教育的な比喩です。星の周りを円運動する惑星も、時空の測地線をたどっています。しかし、鈍角円錐上に描かれた円は測地線ではありません：
これは、教育的図示の限界を示すにすぎません。たとえ幾何学的な図示であっても。
...光子は実際に時空の超曲面の測地線をたどっています。このことを説明するために、鈍角円錐の図を用いることができます。光線は質量のある物体の両側を通って観測者に収束します。これらの測地線を投影すると、蜃気楼のような効果が得られます。観測者は、一つの光源があるように見える代わりに、二つの光源があるように感じます：
../../../bons_commande/bon_global.htm
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