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座標変換に対する不変性。
...これは一般相対性理論の鍵となる概念であり、説明するのは簡単ではない。我々は、「宇宙論的解」、すなわち定常的あるいは非定常的な解を求めるということは、場の運動方程式の「解」となる四次元の超曲面を構成することに他ならないと述べた。
...たとえば、球面のトポロジーを持つ鋼板があるとしよう。これは「鋼板でできた球面」である。この表面が、局所的に加熱・冷却することで変形可能であることは容易に想像できる。たとえば、ある点を加熱し、反対側の領域を冷却すれば、この球面は卵に変形するだろう。卵は球面のトポロジーを持つが、曲率が変化する表面である。
...ある場所を加熱し、別の場所を冷却することで、金属内部に応力が生じる。もちろん、この材料は導体であるため、加熱・冷却をやめれば温度は均一化し、物体は再び球面の形を取り戻すだろう。重要なのは、非一様な温度場を持つ定常状態を実現できることである。この場が応力を生み出し、それらを数学的対象 T（テンソルと呼ばれる）として具体化できるのである。
...物体の幾何構造を記述する何かがある。これを計量と呼ぶ。この第二の数学的対象から、次のように計算できる：
- 幾何学的テンソル S を計算する
- 表面の測地線を計算する
この表面の幾何構造は、アインシュタイン方程式に類似した方程式から計算できるだろう：
S = a T
ここで a は定数である。鋼板内の温度場（すなわち応力テンソル）をあらかじめ知っているならば、その幾何構造を導くことができる。この幾何構造を「読む」最も良い方法は、測地線系を分析することである。球面の測地線（「大円」）はよく知られている。一方、卵の測地線は異なる。
...これらの測地線を記述するためには、表面に座標系を定義する必要がある。球面の場合、標準的な方位角・距離座標系を用いることができる。
...この特別な座標系において、球面の測地線は特定の式で表される。球面上の曲線 q = 定数は、二点を結ぶ測地線の族を表す。一方、曲線 j = 定数（平行線）は表面の測地線ではない。
...同様の座標系を定義し、卵の表面の測地線の式を記述することもできる。しかしすぐに気づく重要な点がある：表面の測地線は、それらを記述するための座標系の選択に依存しない。球面や卵の点が、座標系の選択にかかわらず存在するのと同じようにである。
...同様に、平面においては、点を直交座標系でも、極座標系でも表現できる。平面の直線は測地線である。
直線は二つの座標系で記述できる：
...これは同じ測地線であり、全く異なる記述である。平面の直線は、その記述方法や座標系の選択にかかわらず存在する。そして、それらは無数に存在する。
...では、何が本質的なのか？答えは：直線上（あるいは任意の曲線に沿って）測定される長さ s である。表面の二点 M1 と M2 の間で、最小の長さをもつ経路が測地線である。
...同様に、球面や卵のような物体の二点間の距離も、選択した座標系に依存しない量である。表面の二点 M1 と M2 をとり、それらを結ぶ測地線弧を描く。この弧に沿って測定される長さ s は、点を記述する座標系にかかわらず同じ値になる。
...四次元の超曲面、すなわち「宇宙」についても同様である。この超曲面には独自の測地線系があり、座標変換に対して不変である。我々は空間（x, y, z, t）という座標系に住んでいるのではなく、四次元の超曲面に住んでいる。この超曲面は、その測地線の網目によって完全に記述できる。この測地線上には、座標変換に対して不変な長さ s が存在する。この超曲面の点はもはや空間の点ではなく、時空の超曲面の点である。これらを事象と呼ぶ。異なる二つの事象は、ある量 s で分離されている。では、この s とは一体何なのか？
それは 固有時間 である。
...この時空超曲面上の測地線は、二つの事象 M1 と M2 を分離する。私が時空を移動するための乗り物を使っていたとすれば、その旅に要した時間は、私の搭乗時計に記録された時間 s である。
座標系の選択とは、時空の点を空間座標（x, y, z）と時間座標 t で記述することである。しかし、この選択は任意であるため、空間と時間そのものは本質的な存在ではない。それらは単に表面を「読む」、あるいは「走る」ための方法にすぎない。唯一の制約は、仮定に基づき、測地線に沿ってのみ移動でき、その測地線上で唯一信頼できるのは「経過した固有時間」s であり、単なる時刻の記録（時系列のマーカー）である t ではないということである。
座標系の選択ごとに、事象や現象を「読む」ための異なる体系が得られる。
...したがって、物理学者たちは座標系の選択に依存しない形式的体系を求めてきた。それがテンソル形式の本質である。このテーマについてさらに詳述することは、やや複雑な技術的詳細に踏み込むため、ここでは控える。
特異点の問題。
球面上では、標準的な角度座標系の選択により、二つの極特異点が生じる。
球面を地図化する際には、このような極特異点を避けられない。
...ただし、球面を一つの特異点で地図化することも可能である。球面上に、まず一つの曲線族（円）を、以下の図のように平面で切断することで作る：
次に、第二の曲線族を：
この唯一の特異点を除けば、問題はない。この球面を反対側から見れば、次のように見える：
...唯一の特異点 S を除き、点は容易に特定できる。しかし、この格子特異点 S を定義するパラメータ a と b の値は……まったく意味がない。
...しかし、球面は幾何学的に、本質的に特異ではない。ビリヤードの玉や卵をいかようにも回転させても、特異点は見つからない。
この特異点は、座標系の選択によって生じたものなのである。
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