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一方、真正の幾何学的特異点が存在する：
など……
途中で、折り目は表面の特別な領域であり、左側では負の線形曲率、右側では正の線形曲率を含んでいる。意図的に、これらの2つの表面は球面帽子を用いて作られている。最終的な物体は球面の位相を持つため、全曲率は4πである。左の物体が同じ半径の球の3/4を2つ用いて作られたと仮定する。それぞれの成分は3πの曲率に対応する。合計で6πとなる。したがって、折り目が含む曲率（負）はすぐにわかる：-2π。この曲率は円形の折り目全体に均等に分布している。したがって、三角形ABCの角度の和を計算できる。表面積を測定することで、まず三角形が含む曲率（角度）の量がわかる。それは：
次に、弧mnに含まれる曲率の量を引く必要がある。それは：
レンズも球面の位相を持つ。したがって、折り目は正の線形曲率2πを含む。
…また、3本の測地線からなる奇妙な三角形ABCの角度の和も計算できる。測地線は容易に折り目を越える。自分のテープを使って実際に試してみてください。
弧mnは線形曲率を含む：先ほど示したレンズが同じ2つの球の四分の一で作られたと仮定する。それぞれは曲率πを含む。したがって、折り目を除く表面全体の曲率は2πである。
…三角形ABCと折り目弧に含まれる角曲率を合計することで、オイラーの定理における正の偏差、すなわちπに対するずれがわかる。
これら曲率の問題について、表面に対しては比較的簡単に取り扱えることがわかる。
…表面には特異点や折り目を含むことができる。この場合、これらは座標系の選択に起因するものではなく、真正の幾何学的・内在的な特異点である。
…途中で、この線形曲率は表面の一部に分布させることもできる。例えば、左の図の場合、次のように得られる：
…これは以前に提示したアプローチと同様である。すなわち、円錐の頂点に集中した曲率を、丸められた円錐の球面帽子に分散させたものである。上記の表面を構成する2つの球面帽子がそれぞれ球の2/3を表すと仮定する。その場合、曲率は
灰色の領域は、均等に分布した負の曲率Cを含む。その大きさは：
../../../bons_commande/bon_global.htm
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