表現空間と測地線

f110

• *表現空間。

…円筒が展開可能な曲面であることは既に見た。では、今度は紙の一枚を取ってみよう。これは平面であり、ユークリッド空間である。その測地線は直線である。この紙にいくつかの直線を描き、その後、丸めてみる。

…もし、この丸められた平面を剛体化できたとすれば、その操作が測地線の分布に一切変化をもたらさないことに気づくだろう。再びテープを使って測地線を描くことができる。単に、この平面を三次元の埋め込み空間における表現方法を変えていただけなのである。

より簡単な方法は、板を…波打つ板に変えることだ：

測地線：変化なし。

…幾何学的対象は、私たちがそれをどのように表現するか、すなわちその「表現空間」に依存せずに存在する。

…我々は、四次元の「超曲面」、すなわち時空に住んでいるとされる。一般相対性理論とは、その幾何学を、場の運動方程式の解として構築し、その後、その超曲面の測地線を分析することで、その幾何学を「読み取る」試みである。この場合、もはや表現空間の話はまったく意味を持たない。そのためには五次元の視点が必要になるが、我々はそれを有していない。

…実際には、我々はユークリッド空間の座標、すなわち投影座標を用いる。質量のある物体の周囲および内部の時空を記述する適切な幾何学的解を求めることを考えよう。この系が球対称であると仮定する。さらに、この系が定常的（あるいは準定常的）であると仮定する。

…このとき、球座標（r, θ, φ）を用いる。二次元では二つの座標しか必要なく、対称性は円対称になる。この場合、平面の極座標系を用いる。

…このぼんやりとした物体のモデルは、実際の一般相対性理論に存在する定常解の2次元的教育的図示である。この解は、1917年にオーストリア人のシュワルツシルトが、『アインシュタイン方程式』の特別解として発見したものである：

S = c T

前述した通り。この解は、知的なだけでなく、巧妙なものである。計算上は、容易に構築できるものではない。この点を強調して、ある誤解を払拭したい。それは、「アインシュタインは、無知に満ちた時代の中で一人の天才として孤立していた」という神話である。

…この解から、球対称な質量の周囲には、平面内の測地線が存在し、その平面内に位置していることが示される。その形状は r = f(θ) として計算できる。これらの軌道（あるいは少なくとも、我々のユークリッド的表現空間におけるそれらの投影）は「準ケプラー的」であり、ケプラーの法則は、その幾何学を生み出す質量（ニュートン的視点では「力」）が比較的小さいとき、すなわちその質量内部の局所的曲率が小さいとき、近似として現れる。

…この解は、一般相対性理論の中心的な柱の一つである。もちろん、我々が読者に示すような単純な教育的図示では、その意味を完全に伝えられないが、この解によって、例えば水星の近日点の進動を予測・計算できる。アインシュタインはこの解を用いてこの現象を説明し、それによって「アインシュタイン理論」と呼ばれる理論のすべての栄誉を手に入れた。では、なぜシュワルツシルト自身はこの発見を活かさなかったのか？ それは、彼が戦場に赴くことを強く望み、壕に赴き、その後ガスで窒息死したためである。

…そもそも、この有名なアインシュタイン方程式が本当に彼のものかどうか、まだはっきりしていない。実際、この方程式は、大数学者ヒルベルトによって彼に示唆された可能性がある。また、アインシュタインは、ロシアのフリードマンが発見した、非定常解（宇宙の進化を記述できる場の運動方程式の解）についても、当初は熱意を示さなかった。同様に、1921年に若い数学者カールツァの研究も、後に再発見され、現在では超弦理論の出発点となっている。これらは科学的にあまり重要ではないが、アインシュタインの価値を損なうものではない。むしろ、スポーツマン的な精神と個人の科学的価値が必ずしも一致するわけではないことを示している。

シュワルツシルトが提示した解では、技術的に空間は二つの部分に分けられる。星の内部では物質密度 ρ は一定であると仮定する。これに依存するエネルギー・運動量テンソル T もゼロでない。外部では ρ と T はゼロである。

…この複合的な幾何学は、右辺あり・なしの二つの異なる方程式の解である。物質密度は星の表面で不連続となる（シュワルツシルト「内部解」と「外部解」の組み合わせも同様である。この場合、星は一定密度の球体であり、表面で密度が急激にゼロになる）。しかし、数学的な境界条件（前述の「円錐台－球帽」の接続）により、測地線の連続性は保たれる。

…質量が大きく、曲率効果が顕著になると、軌道はケプラー的モデルからより明確に逸脱する。たとえば中性子星の周囲では、そのような現象が見られる。下図は、このような天体の周囲での近日点の進み（太陽の周囲では水星の軌道楕円は1世紀あたり0.15度進む）を示している。

…これらの軌道を計算するための式とプログラムは、実際にはそれほど複雑ではない。いつかこのサイトで、興味のある読者のために公開する予定である。

…現在のところ、後続の議論に向けて幾何学的な地図をいくつか設置している。ただし、提示したモデルはあくまで参考値であることを再確認しておきたい。

../../../bons_commande/bon_global.htm

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