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座標系の選択によって生じる可能性のある問題。
…我々は、幾何学的解に特定の座標系を適用することによって生じるリスクについて述べる。その解がその座標系において表現されるためには、その座標系が適切である必要がある。上記の解を観察するとき、もしもこの幾何学が場の方程式の解であると仮定すれば、座標系(r, θ)の使用は、トポロジーが「局所的に球面的」であることを前提としていた。もちろん、これは2次元の場合である。つまり、仮想的な幾何学的中心を基準とした任意の円の内部には、さらに小さな円を常に内接させることができ、その円が点になるまで続けることができる。数学的には、半径rの任意の円が「収縮可能なセル」を定義していると言える。
…3次元では、局所的に宇宙は「ルーブル人形」のようになる。球の内部には、常に面積のより小さい球を内接させることができる。3次元では、これは局所的に球面的なトポロジーである。
それ以外の可能性はあり得ないのか？
ある。もし表面のトポロジーが「局所的にトーラス的」であればよい。2次元では、次のようになる：
…注意：上図の対象は、点の位置を特定するのに2つのパラメータが必要であるという意味で2次元の表面である。この意味で、曲線は「1次元の表面」となる。幾何学者が円について語るとき、「S1球面」という表現を使う。すなわち「1次元の球面」である。1次元の対象である曲線上の点を特定するには、1つのパラメータ、すなわち座標だけで十分である。S2球面（通常の球面）と円（S1球面）には共通点がある。これらはすべて「閉じた」対象（トポロジーから借用された概念）である。
…空間内の点の位置を定義するために必要な量の数が、まさにその空間の「次元」の定義である。したがって、(x, y, z, t)という時空は4次元の超曲面と見なされる。なぜなら、点（「事象」と呼ばれる）を定義するには4つの量が必要だからである。
次元の概念に関するこの注意はここで終了する。
…重要なのは、場の方程式の特定の解を構築する幾何学者は、得られた幾何学的対象を「見ることができない」ことである。彼は、その解を測地線を通じて探索するしかなく、それらを特定の座標系で記述するにとどまる。先ほど登場した極座標は、共軸の円筒群による表面との交差、およびそれらの共通軸を通る平面群による交差に対応している。
3次元では、空間と同心球群との交差となる。
…しかし、このような管状の橋を持つ表面を同心円筒群で切断するとどうなるだろうか？円筒が表面と交差している限り問題ない。しかし、その円周が「喉部の円」の円周より小さくなると、その断面は…虚数の曲線となる。喉部の円の円周をpとする。p = 2πRgを満たす長さRgを定義する。
…明らかに、r < Rgであるような円筒群のすべては表面と交差しない。幾何学者がr < Rgにおける表面の測地線の様子を調べたとき、虚数の幾何学的対象が現れる。
…2点と直線の交点を求めるとき、たとえばx = x₀という直線と円の交点を求めると、直線が実際に円と交差する場合にはyについて2つの実数解が得られる。それ以外の場合は、純虚数解となる。
…暗闇の中で表面を探索する人が、その「形状」を認識できず、そのトポロジーが「局所的にトーラス的」であることを知らない場合、非常に困惑するだろう。
表面は2つの曲線群によって識別できる：
…それぞれの曲線は1つのパラメータで定義される。2つの曲線の交点である点Mは、Mを通る2つの曲線のパラメータ値(a, b)によって一意に定まる。
…1つ目の曲線群は、喉部の円を除いて表面の測地線ではない円である。2つ目の曲線群は、これらの円に直交する双曲線型の測地線である。双曲線的な曲線は、ある面から別の面へと貫通する軌道を想起させる。
…同様の状況は、局所的に超トーラス的な3次元空間でも起こり得る。円は、その中で最小面積を持つ「喉部の球面」を含む球面群に置き換わる。この球面群に直交する軌道を構成する曲線は、超トーラス的なトンネルを通り抜け、別の3次元面（または層）に再び現れる貫通軌道を形成する。
…この注意は無駄ではない。ブラックホールのモデルを検討する際、再びこの話題に戻ることになるだろう。実際、このモデルでは、「事象の地平線の内部」に進入するとき、粒子の質量は…純虚数となる（それだけでなく、他にも多くのことが起こる）。このとき、我々は、まだ時空の超曲面の中にいるのかどうか疑問を抱くべきである。特定の座標系(t, r, θ, φ)の選択は、トポロジーが「局所的に超球面的」であることを前提としている（半径rがシュワルツシルトの球面の半径より小さい値をとることを可能にする）。この選択は妥当なのか？
数年前、ある有名な天体物理学者は次のように書いた：
- 「我々は、ブラックホールの内部について、以前よりもはるかに多くのことを知っている。」
しかし、もしブラックホールが存在するなら、その内部は存在するのか？それとも、それは局所的に超トーラス的なトポロジーを表しているのだろうか？
…座標系の選択がもたらす影響の大きさが、ここからわかる。幾何学的解は存在する。それは測地線を持つ。しかし、我々は、それを「読む」ことができるのは、我々の心の内的表現空間に投影したときだけである。その空間は、そもそも相対論的でない、ユークリッド時空である。座標系を選ぶということは、読むためのシステム、投影のシステムを選ぶことである。
…プラトンの寓話の登場人物のように、我々は、ある「ユークリッド的スクリーン」上の影しか観察できない。ただ、その「投影システム」の適切な焦点を選びさえすればよい。
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