球面と半直線の幾何学

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幾何学的文脈。

…球面は2次元の空間である。点を特定するには2つのパラメータが必要である。これはトポロジーを持つ空間であり（「トポロジー」という語の意味については、ベルン出版の漫画『トポロジコン』を参照）、トーラスとは異なるトポロジー、すなわち異なる「形」を持つ。球面には測地線が存在する。2点M1とM2を結ぶ経路を描き、その長さsを測定できる。この長さは点を特定するための座標系の選び方に依存しない。また、表面を覆う測地線も同様に座標系に依存しない。

…この球面の中心からすべての点に線分を引く。無限に多くの半直線が得られる。これらは点と同じ座標系で特定できる。たとえば、2つの角度qとjで表すことができる。

上図は球面である。中心から伸びるすべてのベクトルを示すために、穴を開けている。

今、球面を除き、ベクトルの半直線だけを残す。

…これらの半直線は切り落とされているが、実際には無限に延びている。それぞれは2つのパラメータ（たとえば2つの角度）によって定義される。度量構造は失われ、測地線も長さも存在しない。では、何が残っているのか？

• どの半直線も近傍を持つ。周囲の半直線を選び、それらでこの半直線を「円錐」のように囲むことができる。この円錐内部には、さらに狭い円錐を置き、その中に半直線を含ませることができる。これは同心円やルーブル人形の構造に似ているが、半直線の束を用いる。しかし、この円錐上に測地線を描くわけではない。それぞれの母線は単に2つのパラメータ（たとえば2つの角度）の集合にすぎない。

• 「微分可能性」の直感的な概念が明確に区別される。この「質感」には不連続性がない。

平面の表面を考え、測地線、長さなどを導入する。

…どの座標系を選んでも、点の位置を2つの実数（x,y）、（r,q）などによって記述しなければならない。

これらの実数はR²、すなわち実数の対の集合（たとえば（3.8705, -17.56））から選ばれる。この実数の対の空間内の任意の点のペアは、近傍を持つ。これは「連続的」である。

このような「度量の前の」対象は多様体（数学者は一般の人にとってまったくイメージを喚起しない言葉を選ぶのが得意である）と呼ばれる。

…この段階で、n個の実数の集合（n次元空間）を、自動的に長さや測地線の概念と結びつけずに扱うというステップを飛ばすことができる。

…まるで、点が隣接する点と接触を保つという制約しか持たない表面を考えているようなものである。それは無限に弾力的で、変形可能である。慣例として、表面をその輪郭（境界または視覚的な輪郭）で表す場合、単に輪郭を除くことで、「動的な」多様体の概念を提示することができる：

…この図は、実際には物体の影を想起させる。影には実体も形もない。その幾何学は、影が投影される物体に依存する。

また、多様体（英語ではmanifold）を度量なしに、直線の族として捉えることもできる。

…ここでは、平行に見える直線を描いている。しかし、これらの直線は、近接関係や近傍関係を保ちつつ、任意の方向に配置されていてもよい。

…結局のところ、2次元多様体V2の良いイメージは、最初に茹でてから、曲げたりねじったりしても、パスタ同士の順序は変えないスパゲッティの束である。

いずれにせよ、多様体上で2重被覆の操作を行うことができる。下図に示すように、それぞれに度量を付与する。

ここでは、同じ（ユークリッド的）度量を持つ2次元の2枚の被覆がある。しかし、次のようにすることも可能である：

…これら2つの空間の対応する点をMとMと呼ぶ。2つの空間が多様体の2重被覆として構成されているということは、単に2枚の被覆FとFの間に対応する点が1対1で存在することを意味するが、たとえば対応する点のペア（M1,M2）、（M1,M2）間の距離は異なる場合がある。唯一の制約は、点の近傍が互いに対応し、1枚の被覆の特異点のない領域が、他方の被覆の特異点のない領域に対応することである。

…先ほど登場した柔軟なパスタの束が再び現れる。多様体スケルトン の構造は、2つの幾何学的対象の間の単射写像を構築するためのものにすぎない。上図は、「被覆FとFはどのように配置されているのか？ Fが宇宙なら、Fはどこにあるのか？」といった疑問を完全に提示するためのものである。これらの被覆は単に点対点で対応しており、対応する点は同じ座標で記述できる。

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