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共役曲率。
...3次元空間における局所的曲率（正または負）という概念をどのように捉えるか。球面を考えてみよう。どこかに釘を打ち、長さLの紐をその釘に結びつけ、もう一方の端に鉛筆を固定する。このとき、円を描くことができる。これは平行線に相当する。同様に、平面と馬の鞍を用いて同じ操作を行う。
...平面では、円周は2πL、円板の面積はπL²となる。
...球面では、円周と帽子状領域の面積は小さくなる。一方、馬の鞍では、この閉曲線で囲まれた円周と面積は大きくなる。たとえば、半径Rの球面と、赤道の周長の1/4、すなわちπR/2の長さLを取る場合：
...円板の面積は、球面の帽子領域の面積の3.875倍に、円周は赤道の長さの1.57倍になる。
...同様の測定を表面に対して行うことで、局所的曲率が正か負かを判別できる。3次元でも同様の状況が成り立つ。この場合、ある点を選び、長さLの紐を用いて...球面を描く。この球面の面積が、ユークリッド空間における4πL²より小さければ、局所的曲率は正であると結論づけられる。逆に、面積が4πL²より大きければ、局所的曲率は負であると結論づけられる。体積についても同様の結論が得られる。ここでは、このような「定性的な」考え方だけに留まる。3次元や4次元では、曲率テンソルから計算される「スカラー曲率」と呼ばれる長さRを定義できる。
...私たちが提示する宇宙論的モデルでは、二つの宇宙の葉（foliation）を、対応する点における局所的スカラー曲率が互いに逆数となるように結合することを決定する：
R* = - R
...これは、完全に幾何学的な視点での捉え方である。このような状況を、通常の制限を考慮しつつ、2次元の図解的イメージで表現することは容易である。以下に示す図がそれである：
上図は、すり減った「ポジコーン」である。円錐の胴体部では局所的曲率は0であり、球面帽子部では正である。
下図は、「ネガコーン」である。ネガコーンの胴体部では曲率は0であり、馬の鞍部では負である。
...物体と測地線を、二つのユークリッド的な表現空間に射影している。第一の空間は、葉Fに物理的に存在する観測者にとってのものであり、この観測者は質量物体は見ることができるが、葉F*を移動する「証人粒子」は見えない。
...ある葉に存在する物体が、もう一方の葉にいる観測者には見えないのは、純粋に幾何学的な性質による。 光子が各葉の測地線（特殊な経路）に従うと仮定する。光子jは葉F（私たちの宇宙）を通り、光子jは「幽霊光子（ghost photons）」と呼ぶことができるが、葉F（「幽霊宇宙」）を移動する。二つの葉が互いに非連結な集合を形成しているため、一方の葉の光子が他方の葉に渡ることはできない。
...このような幾何学的システムの「動作」は、一見複雑に思えるが、実際はそれほど複雑ではない。
...葉Fには、その幾何学を完全に記述する「計量」g がある。この計量から測地線系が構成される。この計量g から、幾何学的テンソルS を構成し、それを「場の源」であるテンソルT と同一視する。これによりアインシュタイン方程式を書くことができる：
S = c T
...スカラー曲率が逆数となる葉Fの幾何学は、計量g によって記述される。この計量から幾何学的テンソルS* を構成できる。曲率の反転は、単に以下の式から導かれる：
S* = - S = -c T
...これは、g* = -g であることを意味するわけではない。方程式は非線形であるため、計量g* もまた測地線を生成する。
...葉Fの測地線を一つ取り、その対応する共役点の曲線を、もう一方の葉に描く。この曲線は、その葉の測地線ではない。
逆に：
...さて、今のところ、我々はどこにいるのか？ 我々は、宇宙（仮に葉F、私たちの時空であると仮定）に双子の宇宙を備えた。 私たちの宇宙に存在する物質（テンソルT）は、その幾何学を決定するが、同時に双子の幾何学も決定する。我々は、私たちの宇宙に正の質量のみが存在し、より一般的には正のエネルギーを持つ粒子しかないと仮定する。私たちの時空葉に負の質量が存在する可能性は考慮しない。したがってテンソルT は、エネルギー・物質がある場所では正、真空中では0となる。よって、葉Fの局所的曲率は0または正であり、負にはなりえない。
...一方、葉F*の曲率（このとき「誘導曲率」と呼ぶ）は、0または負である。
...もし葉Fに粒子が存在するならば、それらもまたその葉の測地線に従うと仮定する。上図を観察すると、私たちの宇宙（葉F）に存在する灰色の物体、すなわち質量は、葉Fでは反発する物体（測地線の曲率からわかる）として振る舞う。
...我々は、この「共役計量対（g, g*）」に対応する数学的厳密解を構成した。[サイト内の論文「Geometrical Physics B」を参照]。解g は、星の外部（外側）と内部（星自身の中）で定義されたシュワルツシルト計量と同一である。第二の計量を「アンチ・シュワルツシルト計量」と呼ぶことを提案する。[サイト内の「Geometrical Physics A, 7」、論文2：共役定常計量。厳密解。を参照]
「幽霊物質」を用いて。
この共役幾何学の視点から、状況を逆転させ、正の質量が葉Fに存在すると仮定する。このとき、葉Fでは正の曲率が生じ、その2次元的図解的イメージは、すり減った円錐、すなわちシュワルツシルト解に対応するが、葉F*に存在する。
...異なる葉の観測者が、この質量が自らの宇宙を移動する「証人粒子」に与える影響をどのように認識するかについても同様の注意が必要である。
...上図の図を検討することで、私たちの宇宙に存在する物質と、第二宇宙（幽霊宇宙）に存在する「幽霊物質（ghost-matter）」の間の相互作用の法則を導き出すことができる。
- 二つの物質粒子は互いに引き合う。
- 二つの幽霊物質粒子も互いに引き合う。
- 物質と幽霊物質は互いに反発する。
...これは、ソリアウが提案したモデルとは異なる。ソリアウのモデルでは、第二種の粒子は、私たちの物質粒子を反発するだけでなく、互いに反発するともされていた。
...第二の幾何学は、葉Fに正の質量mが存在することに対応する。この葉では、物質密度ρ* > 0（より正確には「幽霊エネルギー・物質」）を定義できる。なぜなら、第二の葉（幽霊宇宙）には「幽霊放射」、幽霊光子、幽霊ニュートリノも存在するからである。幽霊粒子のエネルギーは正であり、圧力p*も正である。
...これらの量から、幽霊物質のエネルギー・物質テンソルT* を構成できる（エネルギー・物質テンソルの一般的な形はこれより少し複雑であるが、日常的な用途にはこの概略で十分である）。
...場の方程式により、...の幾何学が得られる。