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測地線の概念
...以下では、2次元の曲面のみを扱う。読者は、この読み物を始める前に、いくつかの道具を用意しておくことをお勧めする。実際、実験を通じて「手で理解できる」事柄があるからだ。したがって、次のものが必要である：
- ブリストル紙、またはやや厚手の紙。
- できれば色付きのテープ。
- はさみ。
...市販されている「布テープ」は特に便利であり、任意の幅の帯状に引き出すことができるという利点がある。
...例えば、自動車の車体のような曲面を用意する。これにテープを貼り付ける際、しわが寄らないように、かつ常に支持面に完全に密着するようにする。こうすることで、「自動車曲面」の測地線を描くことになる。
...この操作を平面上で行うと、直線が得られる。直線は平面の測地線である。
...3本の測地線を用いて、この平面、すなわち「ユークリッド空間」上に三角形を描くと、その内角の和は180°となる。
ポジコーン
次に、「ポジコーン」を作製しよう。そのために、角度 q の切り欠きを行い、図示のように曲面を接着し直す。
...テープを用いて、2つの測地線三角形を描く。1つはポジコーンの頂点 S の外側に位置し、もう1つは頂点 S を含むものとする。三角形の内角の和を測定する。すると、頂点を含まない三角形の内角の和は180°のまま変わらないのに対し、もう一方の三角形の内角の和は 180°+q となることが確認される。
これを検証するには、ポジコーンを開いて平面に広げればよい。すると、次のようになる：
...これにより、直線 AH と H'B がなす角度が q であることが容易に確認できる。「実験的に」確認できることとして、円錐の測地線は、平面に展開すると平面の直線となる。これは、円錐が開発可能曲面であることを意味する。円柱についても同様である。
...開発可能曲面とは、平面上に転がすことができる曲面でもある（後述するように、負の曲率を持つ開発可能曲面については、いくつかの注意が必要である）。
...円錐や円柱上に油性インクで測地線を描くと、この「型」を用いて平面上に「印刷」することができ、その場合、直線が得られる。逆に、平面上に油性インクで直線を描き、円錐や円柱を平面上で転がして「印刷」すると、印刷結果は...測地線となる。
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