馬の鞍。
…（少なくとも頭の中では）多数の小さな負円錐を作り、それらを互いにつなぎ合わせることができる。頂点がこの表面上にほぼ規則的に分布するようにすれば、負の一定曲率密度をもつ表面の一部が作られる。しかし、球の場合とは違う。この表面は閉じない。
…負の一定曲率密度をもつ表面の一部（負の一定曲率と呼ぶことにする）を作ったと想像しよう。任意の点、釘、紐を取って円形の輪郭を描けば、いわゆる馬の鞍（負の一定曲率の表面）が得られる。
鈍い負円錐。
…先ほど、球冠から出発し、それを円錐台で縁取ることで鈍い円錐（「鈍い正円錐」）を作った。接平面に不連続が生じないようにする方法さえ見つけた。この正円錐台の元になった円錐を作るのに用いた角度が、球冠に含まれる角度的曲率の量に等しくなければならなかったのである。
…馬の鞍に含まれる（負の）角度的曲率の量を、周長と半径を比較することで測る方法がある。鞍屋ではめったに行われない作業である。それを知っていると仮定しよう。それに応じて負円錐台を作ることができる。
注：負円錐は円錐と同様、可展面である。つまり平面上に「適用」できる。しかしその操作はより微妙に思われる。負円錐を硬い平面上で容易に転がす方法は想像しにくい。
…転がす操作よりも、適用、あるいはより分かりやすく言えば印刷の操作を考える方がよい。印刷するとはどういうことか。インクの付いた凸凹を担う表面を、別の表面に当てることである。
…グーテンベルクの時代には、平面を別の平面に押し当てていた。布に模様を印刷するときは、円柱を転がす。輪転機では紙の帯を二本の円柱の間を通し、一方の円柱が担う凸凹の模様を支持体に印刷する。
…結局のところ、型が可展面でありさえすれば、紙を型に押し当てる方法はどうでもよい。円錐を硬い平面上で転がす代わりに、紙を円錐に手で少しずつ、滑らせないように押し当ててもよい。円錐に凸凹の印があり、それがインクを付けられて紙に印刷されるなら、操作の最後にはこうなる。
…柔らかい物体である紙を、インクの付いた凸凹を担う負円錐に押し当てても同じようにできる。そうすればこうなる（紙にすべての模様を転写したもの）。
負円錐が確かに可展面であることを示すための簡単な遊びにすぎない。
このような物体の上でも、鈍い正円錐と同様に測地線を描き、それを平面上に投影できる。
…平面投影は、私たちのユークリッド的な世界観に従って軌道をどう知覚するかを示している。私たちの馬の鞍に相当する物体は、反発的な重力を思わせる形の軌道を生み出すだろう。
…この奇妙な表面を「鈍い負円錐」と呼ぶことを提案する。ただの言葉にすぎないが、何か見つけねばならない。先ほど、鈍い円錐（正円錐）から尖った円錐へ連続的に移行でき、逆の操作は物体を鈍くすることだと分かった。
…「鈍い負円錐」から（負の）集中曲率点を担う負円錐への連続的な移行も同じことである。
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