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共役な幾何学。
...そこで我々は、鈍いポジコーンと「鈍いネガコーン」を結びつけることにする。これらは同じ量の曲率を持つが、符号は反対である：+ q と - q。それらを向かい合わせに置くことができる（その際、点ごとの対応、すなわち一対一で単射な「写像」を生じさせる）。すると二つの葉ができる。それらを F と F* と呼ぼう。F のあらゆる点に F* の点が対応する。
...曲率を担う「鈍い部分」の円形の輪郭（一方の葉では正、他方では負）が点ごとに対応するように工夫しよう。これをすべて平面上に投影することで図示する。すると共役な曲率を持つ二つの曲面が得られる。
...円錐の側面は「曲がっていない」、すなわちユークリッド曲面の要素である。これらの曲面のあらゆる点で局所曲率はゼロであると言えよう。球冠と鞍面は点ごとに対応する。それらの曲率は反対である。
一般相対性理論。
...出発点は、宇宙の幾何学はその「エネルギー・物質」の内容によって決まるという考えである。ここで物質だけでなくエネルギー・物質という語を用いていることに注意されたい。これは、放射、光子（あるいはニュートリノ）を含め、あらゆる宇宙の内容が幾何学に影響を及ぼすことをよく示している。光子が空間に小さな正の曲率を生み出すことは、先に見たとおりである。
...まずは定常的に論じよう。自由な平面は張力がゼロの面である。張力を正または負に生み出すことで（符号は約束事の問題である）、その幾何学を変形できる。たとえばプラスチックフィルムを熱すれば、そこに膨れ、すなわち正の曲率を持つ領域を生じさせることができる。
...また、紙の表面に、乾燥すると収縮する物質を塗ることもできる。張力によって負の曲率を持つ領域が現れる。
...板金成形工はこうした張力を操って鉄板を変形させる術を知っている。たとえば金属管を取ろう。片側を熱し、反対側を冷やす。何が起こるだろうか？
管は曲がる。熱した部分は膨張し、冷やした部分は収縮するからである。
...そうすることで、我々は金属の中に張力を生み出した。これが数学および幾何学におけるテンソルという語の起源である。材料力学の専門家は応力テンソルと言うだろう。幾何学者は曲率テンソルと言うだろう。
上の小さな実験は次の考えを例示している：
局所的なエネルギー内容 -----> 局所的な幾何学
...一般相対性理論でも同じことをする。違いは、この局所的なエネルギー・物質の内容が、ここでのように二次元曲面の幾何学ではなく、四次元超曲面の幾何学を決定するという点である。しかし考え方は似ている。
...そこで数学者はテンソル表記を用いる。非数学者向けにここでこれ以上述べることはほとんどできない。しかしアインシュタインのテンソル S（太字を用いる）は幾何学の側面に対応する。アインシュタイン方程式では、これをエネルギー・物質の内容を記述する別のテンソル T と、乗法定数「アインシュタイン定数 c」を除いて同一視する。
かの有名なアインシュタイン方程式はこう書かれる：
S = c T
...テンソル T には密度 r と圧力 p が関与する（実際には最も一般的なテンソル T はもっと複雑だが、ここではむしろ慣用的なこの表現で満足しておこう）。定常的な配置では、したがって密度と圧力の分布 r (x,y,z)、p (x,y,z) が与えられる。これによってテンソル T を構築でき、それはこうして問題のすべてのデータを含む。問題はこうである：「上の方程式を満たし、このテンソル T に伴う幾何学は何か？」
...言い換えれば、物理学者は宇宙の局所的な内容を知りつつ、宇宙超曲面の幾何学を決定しようとする。
幾何学と言えば測地線である。ここで一般相対性理論の第二の仮説が関わってくる：
宇宙を進む物体は
時空超曲面の測地線に沿うと仮定する。
物体とは粒子（いわゆる素粒子、光子、ニュートリノ）だけでなく、惑星、恒星なども意味する。
この段階で一つの注意：このすべてにおいて粒子はどこにあるのか？
...答え：一般相対性理論の専門家はマクロなものを扱う。問題の入力関数である密度 r と圧力 p は、宇宙の内容のマクロな記述に対応する。「出力」についても同じである。そして幾何学者は付け加える：
- あなたは私に関数 r (x,y,z) と p (x,y,z) を与えた。私はそれに伴う超曲面を、その測地線族とともに構築した。しかしそれ以上はできない。とりわけ、粒子や原子などを作り出すことはできない。そのためには別の部門に訊いてほしい...
明らかに：一般相対性理論と素粒子物理学の間の橋はまだ架かっていない。
しかし天文学者は叫ぶだろう：
- 構わない。光子がこの超曲面の特定の測地線に沿うというこの仮説は機能する。証拠に、私は観測ができる。惑星を点質量とみなし、それらもこの超曲面の測地線に沿うと仮定すれば、それらの軌道を構築できる。重力レンズ効果もある....
彼は正しい。
...この重力レンズ効果について少し述べよう。もちろん、この鈍い円錐のイメージは教育的なイメージにすぎない。恒星の周りを円軌道で回る惑星も時空の測地線に沿う。ところが鈍い円錐上に描かれた円は測地線ではない：
これは教育的イメージの限界を、たとえ幾何学的であっても、単に示しているにすぎない。
...光子は実際に時空超曲面の測地線に沿う。この鈍い円錐のイメージを用いてそれを例示できる。光線は巨大な物体の両側を通り、その後観測者へと収束しうる。これらの測地線を投影すれば、蜃気楼の効果が得られる。観測者は一つの源ではなく二つの源があるように感じるだろう：
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